Музыка    

  Дудка ~ 
  Чистый строй ~ 
  Сочиненьица ~ 
/Разное/Музыка/Чистый строй

(см. также Just Intonation Synthesizer)

Чевой-то я там такое говорил нащщот про "пальцы не туда"... совершенно очевидно, что на гитаре, настроенной строго по, извиняюсь за термин, 12TET, пальцы по определению этого самого 12TET не могут попасть "туда" (отсюда подтяжки и вибрато). Другое дело, при игре на инструментах с нефиксированным строем, типа там скрипки, пальцы, хотя бы в принципе, могут попасть куда надо, но процесс извлечения звуков из сией инструменты мне совершенно не подвластен по той же самой причине произрастания ручонок из неправильного места.

Что-то (там же) еще было про скорость игры. Есть такое мнение, что стремление к этой самой скорости есть опять же следствие этого злополучного 12TET - при быстрой игре меньше шансов, что лажа будет услышана (со всеми вытекающими в виде, например, закидывания тухлыми помидорами). Этакое отвлечение внимания на другое, на технику игры.

И, наконец, чтой-то (тама же опять жеж) везде тональности указаны. Ох, и дурак же я был...:) Йожыку понятно, что указание тональности при 12TET совершенно ничего не значит, окромя абсолютной высоты звучания. Другое дело неравномерные темперации (и тем более всевозможные разновидности чистых строев) - тогда каждая тональность (тьфутынуты ... +лад, конечно, жеж) будет иметь свой "оттенок". Впрочем, как там тогда у меня струмента настроена была, фикЪ его знает. Есть такое сильное подозрение, что уж всяко не абсолютно точно по правилам РТ.

Ближе к делу. Начитавшись всевозможных текстов про just intonation ("pure tuning", "чистый строй"), я с некоторым удовлетворением обнаружил образование в своей головёнке следующих мыслишек:

Еще ближе к теме. Поскольку ручки, как я уже дважды заявлял, у меня косенькие аки терции в равномерно-темперированном строе, соответственно, гитару я переделать ну просто ну никак не могу, а ручонки-то энти самые, несмотря на кривизну, чешутся, делать чо-то надо, то вместо guitar refretting я могу сделать что? ага, пральна, настучать чего-нибудь на клавиатуре. В смысле, использовать для экспериментов в just intonation комп, накорябав какую-нить программулинку. Ну, или использовать готовую, но мы легких путей не ищем, к тому же, есть тут один махонький нюансик...

Значицца, что есть just intonation? Эт когда отношения частот звуков выражаются рациональными числами, то есть отношениями целых (как правило, небольших) чисел. В РТ эти отношения все до единого (кроме октавы) иррациональные (неразумные, стало быть). Основания у чистого строя сугубо природные - всякому мало-мальски грамотному человеку должно быть известно, что колеблющееся тело (струна, к примеру) колеблется в некотором роде замысловатым образом, а именно, если оно колеблется с частотой 1 у.е., то оно колеблется также с частотой 2 у.е., 3 у.е., 4 у.е, 5 у.е. и т.д. Значит, и мы при построении музыкальной системы должны поступать так, как "поступает" природа, а не выпендриваться с корнями двенадцатой степени из двойки. Ибо мы ее (природы) часть, а не нечто чуждое ей. И музон будет тогда "божественный", а не черт знает какой. Основа музыки - это гармоники, ибо это ЕСТЕСТВЕННО, а всякие там "энгармонизмы" напару с "замкнутыми строями" - от лукавого, или, в лучшем случае, от избытка нтеллекта в сочетании с полной физической глухотой. Особо грамотные сейчас заявят про рояль и про то, что, дескать, у его струн обертона вовсе и не кратны основному тону и что если по струнам долбить сильно, то обертона тоже могут поплыть... а вот не надо перетягивать (струны) и не надо по ним долбить со всей дури. Негармоничность обертонов - это проблема каждого конкретного инструмента, а не ушей. Ушам-то как раз приятно, когда just intonation. От этого и плясать надо.

Вот некоторые распространенные интервалы: 3/2 - квинта, 4/3 - кварта, 5/4 - большая терция, 6/5 - малая терция, 5/3 - секста, 15/8 - септима, 9/8 - большая секунда. Названия интервалов, по сути, это просто номер ноты в гамме - типа вторая (секунда, ре), третья (терция, ми), четвертая (кварта, фа), пятая (квинта, соль), шестая (секста, ля) и седьмая (септима, си).... дурацкие, вобщем, названия :)

Подойдем к вопросу _выписывания_ (не выбора) интервалов несколько более систематическим образом, нежели это было сделано в предыдущем абзаце, из которого мало что понятно. Именно, будем последовательно рассматривать гармоники и их отношения ко всем предыдущим гармоникам. При этом при получении интервала, который ранее еще не встречался, будем сразу выписывать его обращение - это позволит пропустить все четные гармоники, поскольку они ничего нового не дадут (проверьте, если не верите).

Итак, начнем по порядку. Имеем в начале 1 (тоника). Далее 2. Значит, имеем отношение 2/1 (такой интервал традиционно называется "октава"). Обращение (чтобы получить обращение, нужно перевернуть дробь и помножить ее на два, чтобы привести в диапазон между единицей и двойкой) этого интервала, то есть (1/2)*2 = 1 дает унисон ("приму"), то есть, в принципе, ничего интересного. Переходим к 3-ей гармонике. Отношение 3/1 лежит за пределами исходной октавы, поэтому надо его поделить на 2, получится 3/2. То же самое получится, если сразу рассмотреть отношение третьей гармоники ко второй. В дальнейшем мы так и будем поступать - если отношение каких-то 2-х гармоник больше двойки, мы про него сразу забудем, потому что все равно, деля его сколько нужно раз на два, мы придем к отношению двух гармоник, одна (высшая) из которых та же самая, а другая отстоит от низшей на какое-то количество октав вверх, в сторону больших частот.

Сразу же обратим интервал 3/2 (называется "квинта"). Переворачиваем, получаем 2/3 и сдвигаем умножением на два в пределы нашей начальной октавы (1..2), в итоге имеем 4/3. Этот интервал традиционно называется "кварта". Таким образом, 3-я гармоника дает нам 2 интервала, квинту и кварту. Итого, имеем уже три интервала, октаву, квинту, кварту. На всякий случаем взглянем на четвертую гармонику: отношения 4/1 и 4/2 дают опять октаву, а отношение 4/3 только что было, то есть ничего свеженького из 4-ой гармоники мы не получили. Так будет и со всеми другими четными гармониками. Это потому, что гармоники стартового тона являются и гармониками четных гармоник этого тона.

Переходим к пятой гармонике. Отношения 5/1, 5/2, 5/4 фактически эквиваленты, нас интересует только то из них, которое не больше двойки, то есть 5/4 (носит название "большая терция"). Обращаем, получаем (4/5)*2 = 8/5 (что-то типа уменьшенной сексты, см. далее). Пятая гармоника дает нам еще 5/3 ("секста"), и ее обращение (3/5)*2 = 6/5 (это называется "малая терция"). Таким образом, пятая гармоника дает 4 новых интервала. Еще раз, на всякий случай, рассмотрим четную гармонику, шестую. Из тех интервалов, которые в пределах изначальной октавы, она дает 6/4, а это то же самое, что 3/2, то есть уже выписанная квинта, и 6/5, то есть малая терция, которая только что была. Опять видим, что четная гармоника ничего новенького не дала.

Можно даже пока немного притормозить и послушать, что у нас получается. Ведь у нас уже накопилось аж целых 7 частот (тонов, "нот"), не считая октавного повторения тоники. Правда, не совсем "тех" семь нот, которым перво-наперво учат в музыкальной школе. Я бы даже сказал, совсем не тех. Именно, у нас получилось что-то вроде этого (не надо срываться с места и хвататься за гитару или садиться за пианино, там все равно нет НИ ОДНОЙ из этих нот, несмотря на названия... а хотя, как грицца, на безптичьи и жопа - соловей; кстати, я понятия не имею и не хочу иметь, как "по науке" назвать тон 8/5, ля-бемолью или соль-диезом - в конце концов, дело не в названиях):

		1/1 до
		6/5 ми-бемоль
		5/4 ми
		4/3 фа
		3/2 соль
		8/5 ля-бемоль
		5/3 ля
		2/1 до

Маленькое отступление по поводу диезов и бемолей. Всем известно, что ежели, панимаш, энгармонизьма, то тогда фа-диез - это то же самое, что и соль-бемоль. В пифагоровом и чистом строях это не так, звуки фа-диез и соль-бемоль в них разные. Так и вот, как-то почти случайно наткнулся вот на это. Люди на восьми страницах довольно бурно обсуждают "проблему" - что выше, фа-диез или соль-бемоль. Рекомендую прочитать все обсуждение полностью. Лично у меня сложилось впечатление, что, несмотря на вполне приличный уровень беседы, дискутирующие на подобные темы занимаются в некотором роде фигней. По идее, надо обсуждать другой вопрос - именно, что-то вроде "почему в этом произведении (или в этом месте произведения) нужно брать поближе к фа, а вот в этом - поближе к соль?". А какие у этих двух тонов названия и как обозвать то, что ближе к фа, фа-диезом или соль-бемолем или же наоборот - это можно "обсуждать" до посинения без всякого результата. Примерно так же, как если бы кто-то принялся обсуждать, почему именно третья буква в греческом алфавите называется "гамма", а никак не пятая и не одиннадцатая. Ну, называется, ну и хрен с ней. Красота интонирования определяется не названием играемой ноты, а ее частотными взаимоотношениями с, так сказать, соседями.

К нашим баранам. Звучит это (гамма выше) ВОТ ТАК (wav ~280 Kb). Вау! В принципе, можно уже попробовать чонить этакое блюзоподобное нарисовать. Например, ЭТАК. Уффф, умучился. Дело в том, что эти файлики я делаю немного специфическим образом, а именно, создаю их сварганенной за пару дней программулинкой, а потом дорабатываю напильником (задрать громкость перво-наперво ибо сгенерированные программулинкой отсчетики имеют маленькие значения... ну, и плюс фифекты там всякие), в качестве которого использую КулЭдит. Вид файла, который надо подсунуть этой моей проге, ужасно неудобен для восприятия (человеком), поэтому процесс набора таких файлов весьма времяемок. И, раз я вплотную приблизился к теме "just intonation on a computer", то АХТУНГ!!! Щас будет на пальцах разжевано, что комп может далеко не все и это надо учитывать, если вдруг приспичило поразвлекаться на нем музыкальными упражнениями.

Допустим, мне по каким-то неведомым причинам захотелось выбрать в качестве формы сигнала "пилу". В вышеприведенном блюзЕ солирует именно такой, так сказать, "инструмент". Далее. При программной генерации сигналов удобнее оперировать не частотой сигнала, а его периодом. Соответственно интервалы надо писать наоборот, то есть, для нашей мега-блюзовой гаммы имеем:

		1/1 до
		5/6 ми-бемоль (малая терция)
		4/5 ми (большая терция)
		3/4 фа (кварта)
		2/3 соль (квинта)
		5/8 ля-бемоль (уменьш. секста)
		3/5 ля (секста)
		1/2 до (октава)

При этом естественной единицей измерения времени при генерации звуковых файликов является период дискретизации (далее буду использовать обозначение Td). Возращаемся к пиле. Поскольку значения сигнала мы задаем в моменты времени Td, 2*Td, 3*Td и т.д, то пилу с заданным периодом можно воспроизвести строго только тогда, когда период этой пилы кратен периоду дикретизации. В противном случае пила будет иметь не тот период, какой задумано и при этом будет немного неровной (будут призвуки, возможно, весьма раздражающие). Это касается и любой другой формы сигнала.

Ну, задать какой-то период (целый в единицах Td) - не проблема. Но, кроме этого, нам нужно ТОЧНО выдержать отношения периодов, поэтому выбор периода для тоники далеко не произволен! Поясним на простом примере. Пусть нам по каким-то причинам нравится число 321 и мы выбираем его в качестве периода тоники. Тогда для октавы период сигнала должен быть 321*(1/2) = 160.5. Но сгенерировать ("пилу", например), с таким периодом (в единицах Td) просто невозможно, поэтому октава у нас получится нечистая.

Таким образом, период тоники нужно подобрать таким образом, чтобы периоды других тонов гаммы получались целыми, а иначе весь этот just intonation накроется медным тазиком. Например, в вышеприведенных примерах в качестве периода ноты "до" использовалось число 360 (оно имеет много делителей). Посмотрим на периоды других нот гаммы:

	name: c,  ratio: 1/1, period: 360, rem: 0
	name: eb, ratio: 5/6, period: 300, rem: 0
	name: e,  ratio: 4/5, period: 288, rem: 0
	name: f,  ratio: 3/4, period: 270, rem: 0
	name: g,  ratio: 2/3, period: 240, rem: 0
	name: ab, ratio: 5/8, period: 225, rem: 0
	name: a,  ratio: 3/5, period: 216, rem: 0
	name: c2, ratio: 1/2, period: 180, rem: 0

Как видим, все периоды получились целыми (в колонке rem - остаток от деления, везде нуль). Однако, в следующей октаве некоторые тоны получатся уже нечистыми. Переход в следующую октаву - это деление периода пополам, поэтому все тоны, у которых в данной октаве период нечетный, в следующей октаве будут иметь нецелочисленные (в единицах Td, напоминаю) периоды, поэтому окажутся неточными. В данном случае неточным окажется тон, названный ля-бемоль. Вот все тоны, использованные в примере аля-блюз:

	name: g0,  ratio: 4/3,  period: 480, rem: 0
	name: a0,  ratio: 6/5,  period: 432, rem: 0
	name: c,   ratio: 1/1,  period: 360, rem: 0
	name: eb,  ratio: 5/6,  period: 300, rem: 0
	name: e,   ratio: 4/5,  period: 288, rem: 0
	name: f,   ratio: 3/4,  period: 270, rem: 0
	name: g,   ratio: 2/3,  period: 240, rem: 0
	name: ab,  ratio: 5/8,  period: 225, rem: 0
	name: a,   ratio: 3/5,  period: 216, rem: 0
	name: c2,  ratio: 1/2,  period: 180, rem: 0
	name: eb2, ratio: 5/12, period: 150, rem: 0
	name: e2,  ratio: 4/10, period: 144, rem: 0
	name: f2,  ratio: 3/8,  period: 135, rem: 0
	name: g2,  ratio: 2/6,  period: 120, rem: 0
	name: ab2, ratio: 5/16, period: 112, rem: 8
	name: a2,  ratio: 3/10, period: 108, rem: 0
	name: c3,  ratio: 1/4,  period: 90,  rem: 0
	name: eb3, ratio: 5/24, period: 75,  rem: 0

Теперь о том нюансике по поводу использования всевозможных программ для редактирования звука, позволяющих генерировать сигналы различной формы и частотЫ. Как правило, в них задается не период сигнала, а частота, поскольку это более привычно (говорят - стандарт на ля первой (или какой там?) октавы - 440 Гц, а вовсе не 2.(27) миллисекунд). Пусть мне вздумалось генерировать сигнал, как если бы он был оцифрован с частотой 48000 Гц. Тогда для хорошего в обозначенном смысле числа 360 получим частоту тоники 48000/360=133.33333...Гц., а для ля (которая а2) - 48000/108=444.444444...Гц. Мало того, что эти числа могут оказаться сами по себе непредставимы в компе ТОЧНО, так еще их и ввести невозможно точно, ввиду бесконечности количества знаков, требующихся для их записи в десятичной системе счисления. Заниматься тем, что подбирать для каждого тона гаммы частоту, чтобы та или иная прога дала нужный мне период (если вообще такое окажется возможным), мне совершенно в лом, мне проще сляпать простенькую программулинку и при этом быть уверенным, что (почти) все тоны, которые она дает - чистые, с известными исключениями.

К сожалению, подобрать такое число для периода тоники, чтобы ВСЕ мыслимые интервалы оказались чистыми, не представляется возможным: период тоники выразиться столь большим числом, что при типичной "скорострельности" звуковух частота этой тоники будет далеко-далеко в инфразвуке.

Теперь, когда компьютерные нюансики прояснены, можно продолжить с пополнением запаса интервалов. Мы вроде как остановились на 5-ой гармонике. Ну, поехали дальше. Итак, 7-ая гармоника. Хе-хе.

Действуя по отработанной выше схеме, находим 6 новых интервалов: 7/4 и его обращение 8/7, 7/5 и его обращение 10/7, 7/6 и его обращение 12/7. Насколько я понял, эти интервалы нехарактерны для европейской музыки. 7/4 - это немного ниже чистой малой септимы 9/5 (до которой мы еще не дошли). 8/7 - это чуть выше чистой большой секунды 9/8, до которой мы еще тоже не дошли. 7/5 - это где-то между квартой и квинтой. 10/7 - там же, только чуть выше. 7/6 - это чуть ниже малой терции (не до нее ли хоцца потянуть РТ большую секунду?). Наконец, 12/7 это между уже упомянутой чистой малой септимой и секстой. Что делать со всем этим добром и какой из этого получится музон, честно говоря, я плохо себе представляю. Надо думать и слушать. Хотя, сходу можно заприметить чистую квинту 7/4:7/6, малую терцию 7/5:7/6 = 6/5, большую терцию 7/4:7/5 = 5/4. Интересно, как это впишется в доремифасоллясидо? Еще имеется чистая малая терция 12/7:10/7=6/5, чистая квинта 12/7:8/7 = 3/2, большая терция 10/7:8/7 = 5/4.

Попробуем послушать гамму, в которую включены только те тоны, которые получаются из 7-ой гармоники. Число 360, использованное ранее для периода тоники, здесь уже не подойдет: например, 360*(6/7) = 308.571429, то есть нецелое. Подходит число 840, с ним, по крайней мере, в пределах одной октавы все отношения выдержаны точно:

	name: 1, ratio: 1/1,  period: 840, rem: 0
	name: 2, ratio: 7/8,  period: 735, rem: 0
	name: 3, ratio: 6/7,  period: 720, rem: 0
	name: 4, ratio: 5/7,  period: 600, rem: 0
	name: 5, ratio: 7/10, period: 588, rem: 0
	name: 6, ratio: 7/12, period: 490, rem: 0
	name: 7, ratio: 4/7,  period: 480, rem: 0
	name: 8, ratio: 1/2,  period: 420, rem: 0

Правда, частота тоники при этом получается примерно 57 герц, то есть довольно низкая. СЛУШАЕМ. Звучит несколько странно и необычно, что и неудивительно, ибо наши ухи к таким интервалам "не приучены", так сказать. Особенностью данной гаммы является чередование "длинных" и "коротких" скачков вверх по частоте. Сочинить что-то в этой гамме сходу я как-то пас... :)

Добрались до 9-ой гармоники. Если я не обсчитался, то она дает опять же 6 новых интервалов - 9/5 и 10/9, 9/7 и 14/9, 9/8 и 16/9. 9/5 - это чистая уменьшенная септима (типа си-бемоль). 10/9 - весьма полезная штука, это что-то вроде дополнительной ноты ре, которую надо использовать, если хотим поиметь чистое минорное трезвучие ре-фа-ля. Сама ре (9/8, чистая большая секунда) для этого не подходит. 9/7 - это между большой терцией и квартой, чего с ней делать, пока непонятно. 14/9 - это почти равно 11/7. 9/8 - чистая большая секунда, используем для чистого мажорного трезвучия соль-си-ре. Правда, си (септимы) у нас еще нет и появится она еще не скоро. 16/9 - почти не отличается от 9/5, уменьшенной септимы. Называется пифагоровой малой септимой. Пифагоров строй - это когда тоны в гамме получают, шагая квинтами от тоники и сводя полученное в пределы октавы, то есть 1/1, 3/2, 9/8, 27/16 и т.д., подробнее можно посмотреть, например, в Википедии

Понятно, что сей процесс (выписывания интервалов) потенциально бесконечен, поскольку бесконечно множество целых чисел, а стало быть, и их отношений (интервалов). Посему надо из бесконечного числа интервалов выбрать для использования в музыкальной практике только некоторые. А для этого, само собой разумеется, надо иметь критерии отбора. Вот этим мы сейчас и займемся (см. также здесь)

Но для начала нарисуем этакую Пирамиду Отношений. Пирамидка рисуется просто, в каждом ее "этаже" нужно выписать отношения очередного целого числа ко всем числам, не превышающим его, начиная с единицы:


              -----1/1
	     -----2/1  2/2
	         3/1  3/2  3/3
	   -----4/1  4/2  4/3  4/4
	       5/1  5/2  5/3  5/4  5/5
	      6/1  6/2  6/3  6/4  6/5  6/6
	     7/1  7/2  7/3  7/4  7/5  7/6  7/7
       -----8/1  8/2  8/3  8/4  8/5  8/6  8/7  8/8
	   9/1  9/2  9/3  9/4  9/5  9/6  9/7  9/8  9/9
         10/1 10/2 10/3 10/4 10/5 10/6 10/7 10/8 10/9 10/10
        11/1 11/2 11/3 11/4 11/5 11/6 11/7 11/8 11/9 11/10 11/11
       12/1 12/2 12/3 12/4 12/5 12/6 12/7 12/8 12/9 12/10 12/11 12/12
      13/1 13/2 13/3 13/4 13/5 13/6 13/7 13/8 13/9 13/10 13/11 13/12 13/13
     14/1 14/2 14/3 14/4 14/5 14/6 14/7 14/8 14/9 14/10 14/11 14/12 14/13 14/14
    15/1 .............            15/7 15/8 15/9 15/10 15/11 15/12 15/13 15/14 15/15
---16/1 ......            . 16/6 16/7 16/8 16/9 16/10 16/11 16/12 16/13 16/14 16/15 16/16
  ....... и т.д.  

Правая сторона пирамидки - это сплошной унисон, левая - это, собственно, гармоники, а внутри - всевозможные их отношения. Жирным выделены отношения (в пределах отктавы, то есть не превышающие двойки), которые до этого не встречались (если идти с вершины пирамиды). Горизонтальные линии - это границы октав.

Теперь непосредственно о критериях выбора интервалов. Понятное дело, что, по видимому, лучшим критерием является "приятность" интервала на слух, но мы здесь не об этом, а о формальных критериях. Первый - это количество октав (рядов в пирамидке). В данном случае мы ограничились 4-мя октавами (1-2, 2-4, 4-8, 8-16). В англоязычной литературе это называется "octave limit".

Второй критерий более интересный. В англоязычной литературе он носит название "prime limit", то есть ограничение по простым числам. Имеется ввиду следующее. Рассмотрим, например, интервал 15/8. Разложим числитель и знаменатель на простые сомножители. Получим 3*5/2*2*2. Максимальное из простых чисел в данном случае - 5. Поэтому интервал 15/8 есть интервал, ограниченный по 5. Интервал 4/3 ограничен по 3, интервал 12/7 - по 7, интервал 13/7 - по 13 и т.п. Задав максимальное простое число, которое может встретиться в разложении числителя и знаменателя интервала, мы задаем некий критерий отсева интервалов.

Так, если задаться октавным пределом 3 и пределом по простым числам 5, то получим ту самую "околоблюзовую" гамму, которая ранее была получена путем формирования отношений и их обращений с использованием первых 5 гармоник.

Если задаться октавным пределом 4 и пределом по простым числам 5, то получим следующий набор интервалов:


1/1, 2/1, 3/2, 4/3, 5/3, 5/4, 6/5, 
8/5, 9/5, 9/8, 10/9, 15/8, 16/9, 16/15

Упорядочив эти интервалы по возрастанию, получим:

 c	1/1   - прима (унисон)
 db	16/15 - малая секунда (диатонический полутон)
 d-	10/9  - укороченная большая секунда
 d	9/8   - большая секунда
 eb	6/5   - малая терция
 e	5/4   - большая терция
 f	4/3   - кварта
 g	3/2   - квинта
 ab	8/5   - малая секста
 a	5/3   - (большая) секста
 hb-	16/9  - пифагорова малая септима (1.(7))
 hb	9/5   - малая септима (1.8)
 h	15/8  - септима
 c2	2/1   - октава

Выкинув "лишнее", получим известный всем семиступенный диатонический ряд:

	1/1  (до)   - прима 
	9/8  (ре)   - (большая) секунда
	5/4  (ми)   - (большая) терция
	4/3  (фа)   - кварта
	3/2  (соль) - квинта
	5/3  (ля)   - (большая) секста
	15/8 (си)   - септима
	2/1  (до)   - октава

Почему то, что выкинуто, "лишнее" - это выше маво понимания :). В том смысле, что почему, к примеру, 9/5 - "лишнее", а 15/8 - нет. Непонятненько. Ну да и ладно.

Теперь о том, к чему вообще все это. Дело в том, что чистота строя особенно важна для полифонической музыки. Для одноголосых мелодий это, по всей видимости, тоже важно, но в меньшей степени - если пропеть/проиграть какую-либо мелодию в трех строях, к примеру, чистом, равномерно-темперированном, пифагоровом, то 99% людей, скорее всего, вообще не заметят никакой разницы. А вот когда ноты звучат вместе (полифония, стало быть), то это совсем другое дело. Собственно, вся эта возня с темперациями как раз и началась тогда, когда в практику музицирования плотно вошла полифония. Тут-то и повылазили всевозможные "волки", кривые пифагоровы терции и иже с ними и кому-то зачем-то приперло, чтобы играть во всех тональностях, не особо напрягаясь и, панимаш, модуляции всякие совершать.

Посмотрим, что мы имеем в этом отношении с нашим звукорядом с октавным ограничением 4 и ограничением по простым числам 5, ничего не выкидывая. Начнем с трезвучий, построенных от ступеней диатоники.

На всех ступенях (если использовать только звуки, входящие в саму диатонику), кроме второй и седьмой, имеем чистые трезвучия:

в скобках - отношения частот соседних нот аккорда...
на первой ступени имеем до-мажор 1 - 5/4 - 3/2 (5/4, 6/5)
на третьей ступени имеем ми-минор 5/4 - 3/2 - 15/8 (6/5, 5/4)
на четвертой фа-мажор 4/3 - 5/3 - 2 (5/4, 6/5)
на пятой соль-мажор 3/2 - 15/8 - 9/4 (5/4, 6/5)
на шестой ля-минор 5/3 - 2 - 5/2 (6/5, 5/4)

На второй ступени трезвучие получается кривое, но у нас есть в загашнике интервал 10/9, с помощью которого оно распрямляется:

9/8  - 4/3 - 5/3 (32/27 (!), 5/4, квинта волчья 5/3:9/8 = 40/27 = 1.481481).
10/9 - 4/3 - 5/3 (6/5, 5/4)

Вот такая вот петрушка, вторая ступень (ре) в двух ипостасях - одна как тоника минорного трезвучия от второй ступени, а другая как квинтовый тон в трезвучии от пятой ступени.

На седьмой ступени имеем:

		15/8 - 9/4 - 8/3 (6/5, 32/27)

Вторая малая терция здесь короче, чем первая, но особого неприятия при прослушивании я лично не ощущаю.

Теперь посмотрим, что нам дают тоны, не входящие в собственно диатонику, но просеявшиеся через наши критерии. Малая терция дает чистое минорное трезвучие от тоники:

	1 - 6/5 - 3/2 (6/5, 5/4)

В сочетании с малой септимой 9/5 получаем чистое мажорное трезвучие от упомянутой только что малой терции:

	6/5 - 3/2 - 9/5 (5/4, 6/5)

Сама по себе малая септима 9/5 дает чистое минорное трезвучие на пятой ступени:

	3/2 - 9/5 - 9/4 (6/5, 5/4)

Малая секста 8/5 дает чистое минорное трезвучие от четвертой ступени:

	4/3 - 8/5 - 2 (6/5, 5/4)

Итак, на данный момент видно, что имея чистый строй O4_P5, мы вовсе не ограничены одной тональностью, как это иногда заявляют. Цитата оттуда: "Это означает, что музыкант при музицировании был фактически привязан к одной тональности. Модуляции и отклонения в другие, даже ближайшие, тональности становились невозможны, так как в них инструмент оказывался идеально не настроен". Эх, чего токмо не понапишут апологеты равномерной темперации... :) Это при том, что строй Царлино был малость посложнее, в нём больше тонов было, чем в O4_P5, скорее всего у него было что-то вроде O5_P5. ...Значицца, смотрим на O4_P5... даже если забить на дополнительную ре, которая 10/9, то можно лабать, извините за выражение, следующие секвенции. Ессно, в до-мажор - C,F,G или C, Am, F, G; в до-минор - Cm, Fm, G; в соль-минор - Gm, Eb, Cm, F; в ля-минор - Am, Em, C, G. То есть имеем по крайней мере 4 (четыре) тональности, причем, ессно, лады у всех у них разные. А если кто-то спросит что-нить вроде того, что "а вот ежели хоцца играть в том же ладу, какой получился, к примеру, при использовании тональности до-минор, но в другой тональности, скажем, в фа-минор?", то мы, искренне недоумевая и невинно хлопая глазками, ответим ему - "А НАФИГА?". Ну вот действительно, на-фи-га? Написано для до-минор, играй в до-минор и нефикЪ всякой ерундой в виде транспонанирований или как его там, заниматься. Ах, у певца не тот диапазон? Ну, найди другого. Лучше, правда, другую. Ы:) Ах, эта тональность неудобна для данного инструмента? Ну, тык сделай другой с нужной тоникой. Или перестрой данный. Какой проблем? :) А хотя, мы можем ему еще проще ответить - "А что мешает?". Играй на здоровье. Ну, будет A#m кривоватый, ну и чо, тебе шоль, привыкать ко всякому дерьму? Может, это придаст некую изюминку произведению, дааа?. А захочецца в ля-минор - так пожалуйста, произведение еще по другому зазвучит. А при использовании РТ, в какой тональности не играй, все время получается одинаково ... одинаково фальшиво (!)... скукотисча ... при использовании же чистого строя есть тональность, где произведение звучит "идеально", во всех других оно может звучать с фальшью, причем фальшь будет всякий раз разная... вам не кажется, что второй варьянт намного более интересен своим разнообразием, чем первый, а? :) Сдается мне, господа, что вот это вот свойство чистого строя, которые уже упомянутые апологеты пытаются выставить как просто убийственный недостаток, таковым вовсе и не является. "Одинаковая фальшь везде" супротив "_кое-где_ все чистенько"? Тут даже думать не надо, что лучше.

Стоит только добавить эту волшебную вторую ре, то получаем чистое минорое трезвучие ре-фа-ля и, соответственно, списочек тональностей (в которых все чисто) дэцл расширяется. Поимевается ре-минор всякоразный, например Dm-Am-Dm-G или там Dm-Gm-F-C-Dm. Ну, и ля-минор опять же некоторым образом обогащается.

Вощщим, совершенно непонятно, на кой ляд нужна эта "необходимость" играть непременно в любой из 24 (ЭКВИВАЛЕНТНЫХ!!! ОДИНАКОВО ЛАЖОВЫХ!!!) тональностей. Вот, ежли кто гитарист (любитель, ессно, с "профессионалами" лучше ваще на эту тему не разговаривать, на них слово "темперация" производит гипнотическое воздействие, ибо оне ф консервоториях обучалися и им там моск прополоскали так, что они даже могут не подозревать, шо квинта - это вовсе не 7 полутонов, а просто 3/2), скажите, много вы играете в, к примеру, си-бемоль? Или ми-бемоль? Или до-диез? Вооот, добрую половину тональностей можно без всякого сожаления выкинуть нафикЪ. Думается мне, что с пианиной - та же история. Ну, наберется некоторое количество профессиональных спортсменов, которые прям ежедневно играют ХТК на РТ-синтезаторе (бгыгыгы). Ну и чо? Нехай себе развлекаются. На гитаре самые ходовые это что-то типа ля-минор, ми-минор, ре-минор, си-минор, до-мажор, ре-мажор, соль-мажор, ми-мажор, дай бог, с десяток наберется. Ну дык и с чистым строем у нас пяток, мож чуть больше. А куда больше то? :) Народу вполне хватит. Надо больше - берем и делаем струмент не от до, а от ре, к примеру. И всех делов. Еще раз: нафига нужна гитара с РТ строем с его одинаковостью тональностей, ежели 95 процентов народу, бряцающего по струнам, больше половины из них (тональностей) вообще никогда не использует? Может, лучше делать гитарки с чистым строем (с разной тоникой)? Приятней слушать будет, однако. Да чо там гитара! Много сыщется эстетов, которые играют на до-блОчке в до-диез? Или на скрипочке в соль-диез? Восчем, какую струменту не возьми, найдется масса тональностей, в которых играть либо крайне затруднительно, либо неудобно, либо ваще невозможно. Так зачем она, эта гора тональностей, в таком разе нужна? Что-то я разбушевался. Эмоции немного в сторону.

Исследуем поподробнее взаимотношения звуков гаммы строя O4_P5. Для этого нарисуем табличку, в которой выпишем отношения частот всех нот гаммы ко всем (надеюсь, я нигде не ошибся...):


     с     db      d-      d     eb    e     f    g    ab     a     hb-   hb     h      c2
c     1   16/15   10/9    9/8   6/5   5/4   4/3  3/2   8/5   5/3   16/9    9/5   15/8    2/1
db  32/15   1     25/24 135/128 9/8  75/64  5/4 45/32  3/2  25/16   5/3   27/16 225/128 15/8
d-  20/9  48/25     1    81/80 27/25  9/8   6/5 27/20 36/25  3/2    8/5   81/50  27/16   9/5
d    9/4 256/135 160/81    1   16/15 10/9  32/27 4/3  64/45 40/27 128/81   8/5    5/3   16/9
eb  12/5  16/9    50/27  45/24   1   25/16 10/9  5/4   4/3  25/18  40/27   3/2   25/16   5/3
e    5/2 128/75   16/9    9/5  48/25   1   16/9  6/5  32/25  4/3   64/45  36/25   3/2    8/5
f    8/3   8/5     5/3   27/16  9/5  15/8    1   9/8   6/5   5/4    4/3   27/16  45/32   3/2
g    3/1  64/45   40/27   3/2   8/5   5/3  16/9   1   16/15 10/9   32/27   6/5    5/4    4/3
ab  16/5   4/3    25/18  45/32  3/2  25/16  8/5 15/8    1   25/24  10/9    9/8   75/64   5/4
a   10/3  32/25    4/3   27/20 36/25  3/2   8/5  9/5  48/25   1    48/45  27/25   9/8    6/5
hb- 32/9   6/5     5/4   81/64 27/20 45/32  9/8 27/16  9/5  15/8     1    81/80 135/128  9/8
hb  18/5  32/27  100/81   5/4   4/3  25/18 40/27 5/3  16/9  50/27 160/81    1   25/24   10/9
h   15/4 256/225  32/27   6/5  32/25  4/3  64/45 8/5 128/75 16/9  256/135 48/25   1     16/15
c2   2/2  32/15   20/9    9/4  12/5   5/2   8/3   3   16/5  10/3   32/9   18/5   15/4     1

Табличка построена следующим образом: например, в строчке "d" и в столбце "g" выписано отношение тона соль к тону ре, то есть (3/2):(9/8) = (3/2)*(8/9) = 4/3, аналогично для всех элементов таблички ВЫШЕ ГЛАВНОЙ ДИАГОНАЛИ, то есть выше диагонали, в которой единички (отношение тона к самому себе). НИЖЕ главной диагонали выписаны отношения, умноженные на двойку, то есть тон столбца взят из следующей октавы, например: в строчке "a" и в столбце "e" выписано отношение (10/4):(5/3) = (10/4)*(3/5) = 3/2, а не (5/4):(5/3) = (5/4)*(3/5) = 3/4, то есть тон ми взят на октаву выше (умножен на двойку).

Что же мы видим, созерцая оную таблицу? А видим мы вот чего. Видим мы, что есть вполне приличное количество абсолютно чистых аккордов:

	до-мажор c-e-g
	до-минор c-eb-g
	до-септ  c-e-g-hb и c-eb-g-hb

	ре-бемоль-мажор db-f-ab
	ре-минор d- -f-a 
	ре-минор-септ d- f-a-c2
	
	ми-бемоль-мажор eb-g-hb
	ми-минор e-g-h
	ми-минор-септ e-g-h-d
	
	фа-мажор f-a-c2
	фа-минор f-ab-c2
	плюс они же с малой септимой eb2
	
	соль-мажор g-h-d2
	соль-минор g-hb-d2

	ля-бемоль-мажор ab-c2-eb2
	ля-минор a-c2-e2
	......

Замечание по поводу септаккордов. Как строится натуральный мажорный аккорд? Берутся гармоники до 5-ой включительно, приводятся в одну октаву, убираются октавные повторения, то есть имеем ряд 1,2,3,4,5, после приведения в октаву получается 1,2/2,3/2,4/2,5/4, после убирания унисонных и октавных дублей остается 1,5/4,3/2, то есть тоника, мажорная (ака большая) терция и квинта. Стало быть, по логике вещей, для того, чтобы построить 4-х звучный аккорд, надо следовать этой же схеме. Значит, изначально имеем ряд 1,2,3,4,5,6,7, после приведения в октаву имеем 1,2/2,3/2,4/2,5/4,3/2,7/4, убираем повторы, остается 1,5/4,3/2,7/4. Поскольку мы использовали строй P5, то интервалов с использованием семерки в нем нет. В качестве малой септимы выступает 9/5, а не 7/4. Это я к тому, что септаккорды, включенную в табличку, если можно так выразиться, суть "не совсем правильные" септаккорды.

В числах: 9/5 = 1.8, 7/4 = 1.75, а равномерно-темперированная малая септима есть 2^(10/12)= 1.7818. То есть натуральная септима Уже темперированной, а "чистая" малая септима немного шире последней. При некоторой сноровке услышать разницу между натуральной септимой и равномерно-темперированной очень даже можно. И нужно :). Значит, берем гитару, настроенную строго по правилам 12TET. Добываем из 5-ой струны 7-ую гармонику. Сделать это (а также УСЛЫШАТЬ эту гармонику) не очень-то и просто, но если ты выключишь телевизор, радио и прочий шум, а сам при этом будешь трезвый, то есть шанс, что довольно быстро получится. Итак, флажолет над 12-ым порожком (октава, ля), для разминки, флажолет над 7-м порожком (квинта через октаву, ми), флажолет над 5-м порожком (октава через октаву, ля), уже упоминавшийся флажолет чуть ближе к нулевому порожку от 4-ого (большая терция через 2 октавы, до-диез), флажолет над 3-им порожком (это опять квинта, только через 2 октавы, ми) и, внимание, флажолет примерно посередине 3-го лада, то есть между 2-м и 3-м порожками. Добейтесь того, чтобы звучало более менее слышно, запомните тон. Теперь постарайтесь получить его подтяжкой фа-диез (надо немного не дотянуть до соль) на 2-ой струне (7 лад), при этом одновременно берите открытую 5-ую. Когда будете точно попадать в эту натуральную септиму, возьмите темперированную (соль, 8-ой лад второй струны) опять же одновременно с открытой пятой. И, что называется, feel the difference.

И это позволяет вполне полноценно музицировать по крайней мере в 7 тональностях без малейшей лажи:

	1. до-мажор (C-Am-F-G)
	2. до-минор (Cm-Fm-Ab-G)
	3. ля-минор (Am-Dm-Em-C-G)
	4. ре-минор (Dm-Gm-F-C-Am-Dm)
	5. фа-минор (Fm-Eb-Db-C)
	6. ля-бемоль-мажор (Ab-Fm-Db-Eb)	
	7. соль-минор (Gm-Eb-Cm-F)

"По крайней мере" - это потому, что есть еще много чистых двузвучий, не обязательно же играть 3-х, 4-х и т.д. звучными аккордами. Например, к тону, обозначенному hb, нет чистой квинты. А мажорная терция - есть. Поэтому, если не брать в аккорде hb-d-f квинтовый тон, можно смело добавить к списочку фа-мажор, к примеру. Ну и т.д., лень мне стало в цифирки пялиться :). Кому надо, сами разберетесь, поди не маленькие ужо, коль до этого места дочитали :)

И, опять же, кратковременное присутствие неточных интервалов можно использовать в музыкальных целях для выражения той или иной мысли.

Так что, ежели вам кто ляпнет, что, дескать, при использовании чистого строя "музыкант при музицировании был фактически привязан к одной тональности", сами ужо таперича понимаете, что ему надо будет сказать в ответ. Все таки, 7, как ни крути, не равно 1. При этом обратите внимание, что нот в октаве не 70, а всего 13. Кому не нравится это число, можете выкинуть hb-, пифагорову малую септиму, от нее все равно толку немного - примерно как от теоремы его же имени бгыг :). Останется аккурат 12, как все и привыкли. Токмо вместо "фа-диез" будет дополнительная "ре", всюду выше обозначенная как "d-". А кому хочется большего, так нет проблем - берите O5_P5 или там O4_P7, если немного поэкзотичней желается.

Везде выше, когда мы писали интервалы (хотя правильнее говорить "интервальные коэффициенты"), вроде 3/2, 5/4 и т.д., мы имели ввиду отношение частот двух звуков. Однако, эти дроби можно мыслить несколько иначе. Возьмем, например квинту, то есть 3/2 и выпишем рядом гармоники тоники И гармоники этой самой квинты:

	 1  2  3  4  5   6 ...
	3/2 3 9/2 6 15/2 9 ...

Мы видим, что 3-я гармоника тоники совпадает со 2-ой гармоникой квинты. То есть дробь 3/2 можно мыслить себе не как отношение частот верхнего звука к нижнему, а как отношение номеров первых совпадающих гармоник двух звуков. То есть в случае квинты числитель дроби (3) - это номер гармоники тоники, а знаменатель (2) - это номер гармоники квинты, при этом и та, и другая равны 3, то есть совпадают. Совпадают еще 6-ая и 4-ая, 12 и 8 и т.д. Поэтому я написал "первых". Для кварты:

	 1   2  3   4   5    6 ...
	4/3 8/3 4 16/3 20/3  8 ...

Видим, что совпадают 4-ая и 3-я гармоники. То есть на интервальный коэффициент кварты (4/3) можно смотреть как на отношение частоты верхнего звука к частоте нижнему, а можно как на отношение наименьшего номера обертона тоники к номеру равному ему по частоте обертона кварты. Ну, и так далее для других интервалов.

Рассмотрение дробей, выражающих интервалы, с этой точки зрения приводит нас в область теории консонанса и диссонанса. Правда, в этих теориях, помимо степени родства звуков по совпадающим обертонам, учитываются еще разностные, комбинационные тоны и прочие заморочки с нелинейностями. Так, например, разностный тон двух звуков 1/1 (пусть 440 Гц, ля) и 3/2 (660 Гц, ми) есть 660-440=220 Гц, а это есть исходный тон ля, пониженный на октаву. Поэтому исключительная благозвучность квинты определяется не только тем, что третья гармоника тоники совпадает по частоте со второй гармоники квинты, но и тем, что разностный тон (если он есть) представляет собой опять же тонику, только октавой ниже. Интересно здесь то, что для того, чтобы услышать, что квинта (равно как и другие консонансы) есть консонанс, совершенно не нужно быть знакомым с теорией этого дела. Когда вы берете квинту, никаких мыслей типа "о, ага, вот-вот ... третий частичный тон тоники совпал со вторым частичным тоном второго звука" в голове не мелькает. Есть только мысль "во, ага, вот-вот... вот-вот-вот... оно!" :)) И... некое как бы удовлетворение! Мозг определяет созвучность или несозвучность как бы автоматом. Как и почему - вот это вопрос еще тот. Я сказал "удовлетворение". Удовлетворение - это когда приятно. Почему приятно? Видимо, наш слуховой аппарат, когда ему на вход подают (извините за техницизм) одновременно два звука, он чего-то там такое пытается вычислить, то есть выполняет какую-то работу, в результате которой должно быть выяснено отношение этих двух звуков. И, по видимому, это отношение мозгу "надо" во что бы то ни стало представить в виде отношения целых чисел (в каком-то неведомом его, "мозговом", представлении)... ПОЧЕМУ-ТО... И вот когда эта работа МОЖЕТ БЫТЬ совершена, доведена до конца, то есть частоты звуков на самом деле относятся как целые числа, желательно небольшие, то тогда "мозг доволен". Сделал дело - гуляй смело, что называется :). А если результат не может быть достигнут (равномерная темперация, где все отношения иррациональны, кроме октавы) то тогда удовольствия не получается. С этой точки зрения любая темперация, особенно равномерная, есть своего рода музыкальный садомазохизм. Одни с завидным упорством играют на инструментах, настроенных по правилам 12TET, а другие с благоговением насилуют свои уши, слушая игру первых. Вот тут неплохо сказано по этому поводу... "... Как раз терции в кратных 12-ти системах РДО самые шероховатые. Они-то исподволь и расшатывают нервную систему слушателей." Вот даже оно как...

И именно поэтому те, кого уничижительно называют "гитарастами", играют (на этапе ознакомления с электрогитарой) квинтами и квартами. Они-то (квинты и кварты) в 12TET почти чистые и не насилуют москЪ... а вот терции, пропущенные через всякие там усилители и прочие дисторшны, как раз и обнаруживают всю их (терций, терций, а не усилителей) грязь. Ну ты понел.

Как бы в заключение...
http://www.patmissin.com/tunings/tun1.html ...
http://www.mushar.ru/Werntz/Werntz.html
Оригинал тут: http://www.justintonation.net/whatisji.html
Цитирую... "В связи с ее многочисленными достоинствами, почему Чистая Интонация не является в настоящее время ведущей в общем использовании? Как обычно, это - в большей степени несчастный случай истории." Точно, или, в лучшем случае, временное недоразумение. Или еще вот: "Заменяя вселенную тонких интервальных отношений на 12 одинаково темперированных тонов, композиторы и теоретики 18-ых и 19-ых столетий эффектно загнали западную музыку в угол, из которого она пока еще не вышла."
http://www.reference.com/browse/just-intonation

Дата последней модификации: 2012-03-23


/Разное/Музыка/Чистый строй

Содержимое данного сайта может быть использовано кем угодно, когда угодно, как угодно и для каких угодно целей. Автор сайта не несёт абсолютно никакой ответственности за землетрясения, наводнения, финансовые кризисы, глобальные потепления/похолодания, разбитые тарелки, зуд/онемение в левой/правой пятке читателя, эпидемии/пандемии свинячьего/птичьего/тараканьего и иных гриппов, а также за прочие негативные, равно как и позитивные, последствия, вызванные прямым или косвенным использованием материалов данного сайта кем бы то ни было, включая самого автора. При копировании/цитировании материалов данного сайта любым технически возможным в настоящее время способом, а также способом, могущим стать возможным в будущем, указание (либо неуказание) ссылки на первоисточник лежит, блин, тяжким грузом на совести копирующего/цитирующего.

Valid HTML 4.0 Strict Valid CSS!