- Говоришь, говоришь им... Делайте бэкапы! Ре-гу-ляр-но де-лай-те бэк-а-пы... - бормотала уборщица, энергично работая шваброй в серверной
/Разное/Музыка/Математика
/Разное/Музыка/Математика
Вы даже не представляете, сколько в музыке математики и какая она там вообще бывает. Модулярная арифметика (арифметика остатков), логарифмы, цепные дроби, диэдральные группы и прочие непонятные слова. И это только про "частотные" дела (про "ноты"), про ритмические штуки я тут даже заикаться не буду.
Октава. Звуковысотные классы
Начнём с самого, пожалуй, простого. Как то вот так сложилось в эволюции, что для человеческого слуха (а может и не только для человеческого) два звука, частоты которых относятся как 2:1 (например, звучание половины струны и целой струны), воспринимаются как почти "одинаковые", как бы сливаются в один. Ну, сложилось и сложилось, что есть, то есть.
Выразим математически частоты вообще всех звуков, которые находятся в "октавном" отношении со звуком какой-то конкретной частоты f0:
fk = 2kf0 (1) k - целое число, для любого k fk+1/fk = 2k+1f0/2kf0 = 2
Иногда такое множество (при фиксированной f0) называют "звуковысотным классом" (англ. "pitch class"). Грубо говоря, pitch class - это все "ноты" До, или все "ноты" Ля, без различения октав. Иными словами, мы вводим на множестве всех частот некое отношение эквивалентности и как бы считаем, что всё, что "через октаву" - это одно и то же, несмотря на то, что частоты всё таки разные. Ну, сливаются они для слуха, как ни крути.
Если отметить на числовой оси все элементы какого-то звуковысотного класса, то будет видно, что слева от f0, по мере приближения к нулю, они будут расположены всё чаще и чаще, а справа от f0, по мере удаления от неё, наоборот, всё реже и реже. Оно и понятно - отрицательных k у нас "столько же" (бесконечность), сколько и положительных, а вот "места" для тех и других как-то не очень одинаково - для первых всего-то от нуля до единицы, а для вторых от единицы и аж до бесконечности.
Понятно, что все везде уместятся, но давайте всё-таки уравняем в этом смысле "права" правых членов того или иного звуковысотного класса (k = 1,2,3...) и, соответственно, левых, обратных к правым (k = -1,-2,-3..). Как? Да просто прологарифмируем выражение (1) по основанию 2, поделив предварительно обе его части на f0:
log2(fk/f0) = log22k = k
То есть теперь "отношение" частот соседних членов "звуковысотного класса" мы превратили в "разницу" (ну логарифм же!):
log2(fk+1/f0)-log2(fk/f0) = (k+1)-k = 1
И эта "разница" всегда единица, то есть теперь элементы звуковысотного класса расположены на числовой оси ровненько-ровненько, через единичку, начальной частоте f0 соответствует 0, частотам f0/2, f0/4 соответствуют -1, -2 и тд, частотам 2f0, 4f0 соответствуют 1,2 и тд.
... стоп, сани, стоп, олени... а причём тут вообще "октава"-то? Ведь "окто" (греч. 'οκτώ', лат. 'octo') это 8 (ВОСЕМЬ). Откуда 8-то блин взялось, если мы пока вообще только про одну "ноту", pitch class, Си там или Си-бемоль, или вообще что-нибудь из индийских наименований "нот", "са-ри-га-ма-па-дха-ни"?... Где остальные 2,3,4..? Но об этом чуть позже...
Строи
Однако, из одной "октавы" музыки много не получится. Разве что какие-то шаблоны для басов, максимум. Нужны какие-то ещё частоты звуков в интервале (f0..2f0)... как их выбрать?
Вообще, это очень долгая (математическо-эстетическая) история и вскоре вы поймёте, почему (ну и заодно почему таки "октава"). "Долгая" - это примерно со времён Пифагора, если не значительно раньше. И эта история до сих пор ещё не закончилась, кстати.
Итак, мы вроде как поняли, что "октава" - это второй (после "унисона", одинаковые частоты) по консонантности интервал, консонантнее просто не бывает. Отношение частот для "октавных соседей" - 2:1. Вопрос - какое отношение частот звуков будет следующим "консонансом"? Знакомтесь - 3:2, квинта (ПЯТЬ), по сути это есть отношение 3-ей и 2-ой гармоник. Почему она сразу "пятая" (после восьмой, кхе), это тоже попозжа. На струнах - когда мы делим струну пополам, и дергаем любую из 2-х половин, то получаем интервал октавы. Если поделить струну на 3 равные части и извлечь звук из большей части (2/3 длины), то как раз и получится квинта. Когда мы так делаем, то есть уменьшаем длину струны, мы уменьшаем длину звуковой волны. Ну а поскольку длина волны и частота обратно пропорциональны друг другу, то частота куска струны длиной 2/3 будет в 3/2 раза выше частоты звучания целой струны.
Пифагоров строй
Ну, давайте, возьмём какую-нибудь f0 и будем от неё шагать квинтами (умножать на 3/2). Поделим струну на 2 части - вот и "октава", поделим на 3 - вот вам и "квинта" (но пока всё ещё не ясно, какая блин такая великая связь между делением струны на 3 равные части и ПЯТЬ).
Ну, ладушки-оладушки - разделили таки струну на 3 равные части, а рядом ещё струны, поделённые на 2 части, то есть пополам. Внимание, вопрос - можно ли, деля струну на 2 и на 3 части, поиметь эквивалентность как "октав", так и эквивалентность "квинт"?
Ответ - нет, в принципе невозможно. Ну вот смотрите. Мы хотим, шагая октавами (2:1) и квинтами (3:2) от какой-то f0, в итоге придти в какую-то одну "точку", то есть
это шаги по квинтам: fk = (3/2)kf0 это шаги по октавам: on = 2nf0
и мы хотим, чтобы при каких-то k и n было бы
fk = on, то есть (3/2)k = 2n, то есть 3k = 2n + k // но такое невозможно
k и n - целые числа, 3 в любой целой положительной степени это нечётное число, 2 в любой целой положительной степени это чётное число, которое никак не может быть равно никакому нечётному. Облом-с. В связи с которым говорят, что Пифагоров строй "незамкнут". А замкнуть-то хочется, об этом в следующем разделе (про равномерно-темперированные строи)
Давайте всё-таки прошагаем квинтами, посмотрим, какие интервалы у нас получатся (сдвигая вниз на октаву при необходимости):
1 -> 1/1 C (до) 1 * 3/2 = 3/2 -> 3/2 G (соль) 3/2 * 3/2 = 9/4 -> 9/8 D (ре) 9/8 * 3/2 = 27/16 -> 27/16 A (ля) 27/16 * 3/2 = 81/32 -> 81/64 E (ми) 81/32 * 3/2 = 243/128 -> 243/128 B (си) вот тут остановимся и шагнём от начала квартой (4:3) 1 * 4/3 = 4/3 -> 4/3 F (фа) и добавим ещё сюда "октаву" 1 * 2 = 2/1 -> 2/1 C (до) ну и хватит.
Теперь упорядочим по возрастанию интервала от тоники.
1. 1/1 C (до) прима 2. 9/8 D (ре) секунда 3. 81/64 E (ми) терция 4. 4/3 F (фа) кварта 5. 3/2 G (соль) квинта 6. 27/16 A (ля) секста 7. 243/128 B (си) септима 8. 2/1 C (до) октава
Эта вот штука и называется "Пифагоров строй". Ну и пора уже сказать, откуда эти названия - квинта, кварта, октава и пр. Да это тупо номер ноты в диатонической гамме, которая образует данный интервал с исходной, с "тоникой" (если считать с единицы). К собственно интервальным коэффициентам (3:2, 4:3, 2:1 и пр.) они не имеют никакого отношения от слова совсем.
Пару слов про термин "диатоника". Диатоника это гептатоника (ну то есть 7 "тонов", 7 "нот"), причем "расстояние" между соседними "нотами" не больше "тона". Тут "тон" понимается в рамках "12-ти тонового равномерно-темперированного строя" (см. про него далее). Ну вот, например, "формула" обычной мажорной гаммы (натурального мажора) это "тон-тон-полутон-тон-тон-тон-полутон", "формула" обычной минорной гаммы это "тон-полутон-тон-тон-полутон-тон-тон".
Можно построить звукоряд из семи звуков, который не будет "диатоникой", ну например, по формуле "полуторатон-полутон-полутон-тон-полутон-полутон-полуторатон". Это, кстати, прикольная такая гамма, очень блюзовая (в нотах, например, от Ля - A,C,Db,D,E,F,F#,A), но вот только тритона (Eb) и септимы (G) тут нет. Если их добавить, будет совсем блюзово, но тогда это будет уже нонатоника. Впрочем, я отвлёкся.
Опустим октавное повторение До и перенумеруем с нуля (я для разнобразия написал тут ещё русские и индийские названия "нот"):
0. C до са 1. D ре ри 2. E ми га -- а не отсюда ли 3. F фа ма -- само слово "гамма"? 4. G соль па 5. A ля дха 6. B си ни
Формально множество чисел {0,1,2,3,4,5,6} является набором остатков от деления на 7. Или, как ещё говорят, "полной системой вычетов" (по модулю 7 в данном случае). Вместе с операцией "сложение по модулю" это множество образует группу.
Тут "группа" это очень-очень строгий термин из "теории групп", которая является разделом абстрактной (общей) алгебры. Мне нравится, как бы это сказать, "итерационное" определение понятия группы (или ещё можно сказать, в стиле наследования, как оно понимается в ООП):
- Группоид - некое множество (чего-то) плюс некоторая бинарная операция над его членами. В выражении "бинарная операция на множестве" как бы подразумевается, что в результате применения групповой операции к произвольным двум (бинарная же) членам множества получается опять член множества, то есть применение этой операции не выводит за пределы множества.
- Полугруппа - это группоид, групповая операция которого ассоциативна
- Моноид - полугруппа, в которой существует "нейтральный" элемент. Это такой элемент, который не меняет никакой элемент множества при применении групповой операции.
- Ну и, наконец, собственно группа - моноид, в котором каждому элементу можно сопоставить "обратный/зеркальный/симметричный/противоположный". При применении групповой операции к взаимообратным элементам получается нейтральный элемент.
Рассматривая наши семь нот как множество {0,1,2,3,4,5,6} и применяя операции сложения по модулю 7, мы получим что-то такое:
C + D = (0 + 1) mod 7 = 1 = D A + B = (5 + 6) mod 7 = 4 = G
Ну то есть получим какую-то фигню, нет в этом никакого музыкального смысла (ну или, по крайней мере, я его тут не узрел). Далее, однако, мы поглядим на группу, гораздо более интересную в музыкальном плане.
Равномерно-темперированный строй
Но пока посмотрим, что за зверь такой, этот 12TET, "12-ти тоновый равномерно-темперированный строй", и откуда именно 12, а не 9,11 или 15. Итак, нам позарез хочется поделить октаву на n равных (логрифмически) частей, то есть чтобы соседние "ноты" в ней относились друг к другу одинаково:
fk+1/fk = 21/n, n - целое положительное // не путать с тем, что было выше, в самом начале // там были только pitch classes, октавы, // тут - внутри октавы
И при этом мы хотим, чтобы кто-то из этого набора из n штук попал бы более-менее в квинту, то есть:
fk = 2k/nf0 = (3/2)f0 сокращаем на f0 и берём логарифм по основанию 2: log2(3/2) = 0.584963 = k/n k = номер "ноты", которая будет похожа на квинту
Но, как мы уже поняли, такое равенство невозможно ни при каких n и k, так как log2(3/2) это иррациональное число, а мы хотим его выразить рациональным (отношением целых). И вот тут-то к нам на помощь спешат цепные дроби (иногда говорят "непрерывные" дроби). Цепная дробь - это конструкция вот такого жутковатого, прямо скажем, вида:
[a0;a1,a2,a3...] = a0 + ________________1_______________
a1 + _____________1_____________
a2 + __________1___________
a3 + _______1_________
a4 + _____1______
a5 + ___1___
a6 + ...
Такие конструкции позволяют находить рациональные приближения иррациональных чисел, беря конечное число членов в такой дроби.
Вычислим несколько первых ak для нашего log2(3/2)=0.584963:
a0 = floor(0.584963) = 0 x0 = 0.584963 - 0 = 0.584963 a1 = floor(1 / 0.584963) = floor(1.709510) = 1 x1 = 1 / 0.584963 - 1 = 0.709510 a2 = floor(1 / 0.709510) = floor(1.409423) = 1 x2 = 1 / 0.709510 - 1 = 0.409423 a3 = floor(1 / 0.409423) = floor(2.442462) = 2 x3 = 1 / 0.409423 - 2 = 0.442462 a4 = floor(1 / 0.442462) = floor(2.260081) = 2 x4 = 1 / 0.442462 - 2 = 0.260081 a5 = floor(1 / 0.260081) = floor(3.844956) = 3 x5 = 1 / 0.260081 - 3 = 0.844956 a6 = floor(1 / 0.844956) = floor(1.183494) = 1 floor(x) - это ближайшее целое слева от x
Таким образом, рациональные приближения для log2(3/2) задаются такой вот цепной дробью:
log2(3/2) = 0.584963 = [0; 1, 1, 2, 2, 3, 1...] =
= ____________1____________
a1 1 + __________1__________
a2 1 + ________1________
a3 2 + ______1______
a4 2 + ____1____
a5 3 + __1__
a6 1 + ...
Возьмём несколько первых приближений.
__1___ = 1 / 2
1 + _1_
1
Ну тут ничего интересного, это просто октава.
__1________ = 3 / 5 = 0.600000
1 + __1____
1 + _1_
2
1 точный знак, если округлить 0.584963 до 0.6
Пять шагов в октаве, квинта на 3-ем шаге. Это у нас получилась равномерно-темперированная пентатоника (гептатоника - 7 нот, пентатоника - 5 нот), привет китайцам, японцам, корейцам, монгольцам.
_______1_______ = 7 / 12 = 0.583333
a1 1 + _____1_____
a2 1 + ___1___
a3 2 + _1_
a4 2
2 точных знака, если округлить 0.584963 до 0.58
12 шагов в октаве, квинта на 7-ом шаге. Общепринятый современный строй фортепиано (с оговорками), гитар и т.п.
_________1_________ = 24 / 41 = 0.585366
a1 1 + _______1_______
a2 1 + _____1_____
a3 2 + ___1___
a4 2 + _1_
a5 3
3 точных знака, если округлить 0.584963 до 0.585
41 шаг в октаве, квинта на 24-ом шаге. Ну это явно перебор, слишком много. Вот поэтому-то в октаве 12 полутонов. 5 - маловато будет, 41 - много, а 12 - самый раз, да и число типа красивое.
Однако, красота эта выходит немного боком - в 12-ти полутоновом равномерно-темперированном строе нет ни одного чистого интервала, кроме октавы. Это такой компромисс между чистотой строя и эквивалентностью всех 24 тональностей, возможностью делать произвольные модуляции, то есть "прыгать" из одной тональности в другую без перестройки инструмента.
Иногда квинту в 12TET называют "чистой" квинтой, но это наглая ложь - 0.583333 никак не равно 0.585366 (и, соответственно, 27/12=1.498 чуть меньше, чем 3/2=1.5), это всего лишь приближение, довольно хорошее, но всё таки приближение. Также в 12TET неплохо приближается кварта (4:3), но вот с терциями (5:4 и 6:5) там беда.
Чистый строй
Вернёмся к Пифагоровому строю. Там мы, чтобы получить какие-то "ноты" внутри октавы, шагали квинтами (ну, ещё кварту всунули, её из квинты можно получить обращением, 2/3 -> 4/3, но никак не возведением в степень интервала квинты, тут та же история про "степень тройки не бывает степенью двойки"). Ну так давайте не будем шагать квинтами, а просто тупо возьмём какие-нибудь чистые интервалы и сделаем из них гамму:
0. C 1/1 1. D 9/8 9/8 // большой "тон" 2. E 5/4 10/9 // малый "тон" 3. F 4/3 16/15 // полутон 4. G 3/2 9/8 5. A 5/3 10/9 6. B 15/8 9/8 7. C 2/1 16/15
Это диатоника в чистом строе. Обратите внимание, формула "тон-тон-полутон-тон-тон-тон-полутон" тут уже не прокатывает, просто потому, что тут 2 разных "тона", два разных отношения "соседей", 10:9 (1.(1)) и 9:8 (1.125), поменьше и побольше. В 12TET есть только один тон (равный двум полутонам), который равен 22/12=1.122462, то есть где-то посерёдке между 10:9 и 9:8. Полутон тут тоже вовсе не такой, как в 12TET - 16:15 (1.066667) против 21/12 (1.059463), последний чуть "короче". Но, как говорится, "пипл хавает".
Сейчас мы познакомимся с весьма ходовой единицей измерения интервалов, которая называется цент. Октава принимается за 1200 центов (ну, 12 нот в октаве, умноженное на сто), а величина интервала в центах задаётся такой вот формулкой:
c = 1200 * log2(fx/fy)
Для 12TET отношение соседних нот это всегда 21/12, поэтому "полутон" это 100 центов, тон это 200 центов, квинта (помним, 7-ой шаг на полтона) это 700 центов и т.п.
Нарисуем сравнительную табличку интервалов для 3-х строёв, 12TET, Пифагорова и чистого, в рамках диатоники (значения в центах я округлил до целого):
12TET P5 P3
----------- -------- -----------
0. C 20/12 0 1/1 0 1/1 0
1. D 22/12 200 9/8 204 9/8 204
2. E 24/12 400 5/4 386 81/64 409
3. F 25/12 500 4/3 498 4/3 498
4. G 27/12 700 3/2 702 3/2 702
5. A 29/12 900 5/3 884 27/16 906
6. B 211/12 1100 15/8 1088 243/128 1110
Выше я там где-то говорил, что в 12TET квинты и кварты более-менее сносные, а вот терции как бы не очень. Ну вот тут видно, насколько и в какую сторону "не очень". Равномерно темперированная большая терция сильно "длиннее" чем нормальная, чистая, 400 центов против 386, а малая (это, например, G:E) наоборот, значительно короче, 300 в равномерно-темперированном против 6:5 (316 центов) в чистом. И есть даже мнение, что такие вот кривые терции, ни много ни мало, расшатывают нервную систему гомосапиенсов!
Ах, да... что за буковки в заголовке таблицы, P5 и P3? На самом деле Пифагоров строй это тоже в каком-то роде чистый строй. P3 означает, что в разложении числителя и знаменателя интервальных коэффициентов на простые сомножители могут быть только 2 и 3, а в P5 добавляется, вы угадали, 5. А сама буковка P это от англ. "prime limit", ограничение по простым числам. В текстах на русском встречается ЧИП5, типа "чистое интонирование" (калька с just intonation) предела 5. Ну, а Пифагоров строй это, соответственно, ЧИП3.
Диэдральные группы
Ну вот у нас теперь есть 7 нот, неважно, в рамках какой системы они получены, для нас это теперь просто набор чисел {0,1,2,3,4,5,6}. Или букв {C,D,E,F,G,A,B}. А давайте нарисуем... семиугольник, такой вот:
И вот как только мы такое нарисовали, мы сразу и поняли, каким макаром в теории музыки возникает абстрактная алгебра во всей своей красе. Группа диэдра (в нашем случае D7, семиугольник) это группа преобразований многоугольника, совмещающих его с самим собой: это n поворотов на 2πk/n (k = 0..n-1, k=0 это поворот "на нисколько", тождественное преобразование) и ещё n отражений относительно осей симметрии, всего 2n преобразований.
Обозначенное множество преобразований есть группа. Групповой операцией на этом множестве является композиция (чуете, куда я клоню?..), это означает просто поочерёдное применение 2-х операций, например, поворот на сколько-то "шагов" и затем отражение относительно какой-то оси. Каждая такая композиция снова есть или поворот, или отражение. "Нейтральным элементом" является "поворот на нисколько". У каждого преобразования есть обратное, например, поворот на 3 "шага", а потом на 4 "шага" (для семиугольника) есть "нейтральный элемент", поворот на 0 шагов.
Теперь давайте сообразим, что означает группа D7 в музыкальном плане.
- Повороты - это просто движение по гамме на сколько-то ступеней (транспозиция, смена "позиции")
- Отражения - это... ммм... а так даже сразу и не сообразишь, что это... возможно, это обращения интервалов и аккордов, потом поглядим
Зададим эти преобразования аналитически, то есть в виде формул:
Tk(X) = ( X + k) mod 7 // транспозиции, k = 0..6 Ik(X) = (-X + k) mod 7 // инверсии, k = 0..6
Обратите внимание, что
- под X тут понимается любое подмножество множества {0,1,2,3,4,5,6}, то есть звукоряда {C,D,E,F,G,A,B} - это может быть одна нота, две ноты, аккорд или вообще сразу вся гамма, операции Tk и Ik применяются при этом почленно, то есть O({a,b,c})={O(a),O(b),O(c)}
- все операции делаются "по модулю 7", то есть после прибавления k нужно взять остаток от деления на 7
Чтобы не быть голословным насчёт того, что наши транспозиции и инверсии это реально группа, давайте посмотрим, что собой представляют их композиции (последовательные применения), например транспозиция плюс инверсия (поворот плюс отражение семиугольника):
(IjTk)(x) = Ij(Tk(x))
= Ij(x + k)
= -(x + k) + j
= -x + (j - k)
= Ij-k(x)
то есть IjTk = Ij-k
Как видим, комбинация транспозиции (поворота) и инверсии (отражения) даёт снова какую-то инверсию. Проделывая аналогичные вычисления, получим:
TjTk = Tj+k IjTk = Ij-k TjIk = Ij+k IjIk = Tj-k действия с индексами - по модулю 7 например, T6T5 = T6+5 = T4 и т.п.
То есть это наше множество преобразований,
{
T0,T1,T2,T3,T4,T5,T6,
I0,I1,I2,I3,I4,I5,I6
}
вкупе с операцией композиции это как минимум группоид, поскольку композиция операций не уводит за пределы этого множества. Далее, ассоциативность тут тоже выполняется, то есть это уже полугруппа, нейтральный элемент имеется, это T0, имеем уже моноид. Теперь насчёт обратных элементов.
А давайте до кучи составим таблицу Кэли. Это такой аналог обычной школьной таблицы умножения, только вместо чисел в ней операции, а "умножение" в нашем случае это композиция, комбинация операций (первой применяется операция, обозначенная в заголовках столбцов, затем та, что в заголовках строк, то есть j - это то, что в первом столбце (заголовки строк), k - то, что в первой строке (заголовки столбцов)):
T0 T1 T2 T3 T4 T5 T6 I0 I1 I2 I3 I4 I5 I6
----------------------------------------
T0 | T0 T1 T2 T3 T4 T5 T6 I0 I1 I2 I3 I4 I5 I6
T1 | T1 T2 T3 T4 T5 T6 T0 I1 I2 I3 I4 I5 I6 I0
T2 | T2 T3 T4 T5 T6 T0 T1 I2 I3 I4 I5 I6 I0 I1
T3 | T3 T4 T5 T6 T0 T1 T2 I3 I4 I5 I6 I0 I1 I2
T4 | T4 T5 T6 T0 T1 T2 T3 I4 I5 I6 I0 I1 I2 I3
T5 | T5 T6 T0 T1 T2 T3 T4 I5 I6 I0 I1 I2 I3 I4
T6 | T6 T0 T1 T2 T3 T4 T5 I6 I0 I1 I2 I3 I4 I5
I0 | I0 I6 I5 I4 I2 I1 I0 T0 T6 T5 T4 T3 T2 T1
I1 | I1 I0 I6 I5 I3 I2 I1 T1 T0 T6 T5 T4 T3 T2
I2 | I2 I1 I0 I6 I4 I3 I2 T2 T1 T0 T6 T5 T4 T3
I3 | I3 I2 I1 I0 I6 I4 I3 T3 T2 T1 T0 T6 T5 T4
I4 | I4 I3 I2 I1 I0 I5 I4 T4 T3 T2 T1 T0 T6 T5
I5 | I5 I4 I3 I2 I1 I6 I5 T5 T4 T3 T2 T1 T0 T6
I6 | I6 I5 I4 I3 I2 I0 I6 T6 T5 T4 T3 T2 T1 T0
В каждой строчке есть T0, это и означает, что у каждого преобразование есть обратное. Для поворотов у нас получается TkT7-k=T0, а для отражений IkIk=T0, то есть каждое отражение обратно самому себе, что как бы и понятно.
Чтобы стало попонятнее, как с этим, так сказать, формализмом управляться в музыкальных целях, несколько простых примеров:
1. Аккорд до-мажор это {C,E,G} = {0,2,4}
Сдвинем его на одну ступень:
T1({0,2,4}) = {0 + 1, 2 + 1, 4 + 1} = {1,3,5} = {D,F,A}
получился, как видим, аккорд ре-минор, как и должно быть
2. Нота си это {B} = {6}
Сдвинем её на две ступени:
T2({6}) = {(6 + 2) mod 7} = {1}
// остаток от деления 8 на 7 есть 1
то есть получили ноту ре
3. Двузвучие с интервалом в квинту {C,G} = {0,4}
Инвертируем его относительно "оси C", это I0:
I0({0,4}) = {(-0 + 0) mod 7, (-4 + 0) mod 7} = {0,3} = {C,F}
получилась кварта, всё чётко.
4. Обратим то же двузвучие относительно "оси ре" (это I2):
I2({0,4}) = {(-0 + 2) mod 7, (-4 + 2) mod 7} = {2,5} = {E,A}
получили опять кварту, но другую
5. Обратим аккорд Am относительно оси A (I3)
I3({A,C,E}) = I3({5,0,2}) = {
(-5 + 3) mod 7,
(-0 + 3) mod 7,
(-2 + 3) mod 7
} = {5,3,1} = {A,F,D}
получился аккорд Dm "задом наперёд"
это интересненько
а если относительно оси B (I5)?
I5({5,0,2}) = {0,5,3} = {C,A,F}
а это фа-мажор задом наперёд, прикольно.
Кстати, аккорды (3-х звучные) получаются на нашем семиугольнике, если шагать через вершину, там всегда у нас терция, или малая, или большая (римскими цифрами тут обозначены трезвучия на соотв. ступени):
I = T0(I) = {C,E,G} // до-мажор
II = T1(I) = {D,F,A} // ре-минор
III = T2(I) = {E,G,B} // ми-минор
IV = T3(I) = {F,A,C} // фа-мажор
V = T4(I) = {G,B,D} // соль-мажор
VI = T5(I) = {A,C,E} // ля-минор
VII = T6(I) = {B,D,F} // си-уменьш.
Кукуха
Не, не та, что эпизодически едет :-). Обыкновенная, лесная кукушка. Кукует она в (примерно) малую терцию (вниз), ну типа до-ля. Вот берём это "до-ля" (это будет наш "мотив", движущая сила, так сказать) и делаем практически на ровном месте не шедевр, конечно, но вполне вменяемую мелодию. Помните, групповая операция у нас тут это композиция (транспозиций и инверсий), слово, однокоренное слову "композитор". Ну, то есть композитор - это такой чел, который делая всякоразные преобразования относительно небольшой группки нот (у нас будет 2), составляет мелодию. Как-то так :-)
Просто подвигаем "до-ля" немного "вдоль" гаммы (то есть инверсии вообще применять не будем):
T1({C,A}) = {D,B}
T2({C,A}) = {E,C}
T4({C,A}) = {F,D}
T3({C,A}) = {G,E}
Ну и как-то скомбинируем...
Просто одноголосая мелодия было бы очень скучно, поэтому я там (весьма незатейливо) гармонизировал (ну, аккорды приделал). Замечу только, что, например, на исходное "до-ля" можно наложить ля-минорное трезвучие, а можно фа-мажорное, ну и для гармонизации сдвинутых пар тоже можно использовать разные аккорды. Разумеется, всё это можно легко насочинять и без всех этих математических штучек, но так прикольнее же!
Вы будете смеяться, но великие композиторы навроде Баха, Бетховена, Моцарта во все поля применяли подобные методы при сочинении своих шедевров. Они, конечно, не оперировали такими понятиями, как "диэдральная группа" (хотя кто их знает) но суть именно в этом. Берётся какая-то "тема" или "мотив", а потом как давай над ним всяческие преобразования осуществлять - и делали они это настолько мастерски, что повторения (как бы) одного и того же таковыми и не кажутся, в этом их гений.
Лады
К нашим баранам. А давайте двигать всю гамму разом, получим "лады":
ионийский
T0(L1) = {0,1,2,3,4,5,6} = {C,D,E,F,G,A,B} = L1
дорийский
T1(L1) = {1,2,3,4,5,6,0} = {D,E,F,G,A,B,C} = L2
фригийский
T1(L2) = {2,3,4,5,6,0,1} = {E,F,G,A,B,C,D} = L3
лидийский
T1(L3) = {3,4,5,6,0,1,2} = {F,G,A,B,C,D,E} = L4
миксолидийский
T1(L4) = {4,5,6,0,1,2,3} = {G,A,B,C,D,E,F} = L5
эолийский
T1(L5) = {5,6,0,1,2,3,4} = {A,B,C,D,E,F,G} = L6
локрийский
T1(L6) = {6,0,1,2,3,4,5} = {B,C,D,E,F,G,A} = L7
Инверсии (Ik)
Выше я сделал предположение, что, возможно, инверсии описывают обращение аккордов, я имею ввиду секст-аккорд и кварт-секст-аккорд. Но нет, таких преобразований среди наших Tk и Ik нет. С Tk уже понятно, это поворот семиугольника на k шагов, то есть движение по диатонике на k ступеней. А что же делают инверсии? Возможно, вы уже заметили, что инверсии аккорда делают какой-то аккорд, но как бы задом наперёд:
I0({0,2,4}) = {0,5,3} = {C,A,F} F IV S
I1({0,2,4}) = {1,6,4} = {D,B,G} G V D
I2({0,2,4}) = {2,0,5} = {E,C,A} Am VI
I3({0,2,4}) = {3,1,6} = {F,D,B} Bdim VII
I4({0,2,4}) = {4,2,0} = {G,E,C} C I T
I5({0,2,4}) = {5,3,1} = {A,F,D} Dm II
I6({0,2,4}) = {6,4,2} = {B,G,E} Em III
Если считать первый звук в каждой тройке самым верхним звуком (а мы можем это делать с полным правом, потому что буковки A,B,C,D,E,F,G у нас это не ноты в конкретной октаве, а звуковысотные классы, то есть A - это набор всех Ля разом, можно выбирать в каждом конкретном случае какую хочешь), то мы видим, что все инверсии {C,E,G} это какие-то аккорды, но в нисходящем порядке. Причём, что интересно, инверсия относительно тоники изначального аккорда даёт субдоминанту, а инверсия относительно следующей по порядку оси - доминанту. И это общее правило, для примера переключимся, например, в дорийский "режим" (dorian mode):
dorian
I0({1,3,5}) = {6,4,2} = {B,G,E} Em II
I1({1,3,5}) = {0,5,3} = {C,A,F} F III
I2({1,3,5}) = {1,6,4} = {D,B,G} G IV S
I3({1,3,5}) = {2,0,5} = {E,C,A} Am V D
I4({1,3,5}) = {3,1,6} = {F,D,B} Bdim VI
I5({1,3,5}) = {4,2,0} = {G,E,C} C VII
I6({1,3,5}) = {5,3,1} = {A,F,D} Dm I T
(номера ступеней указаны относительно D)
Та же картина - инверсия относительно "собственной" оси (D в данном случае, I2) даёт G, субдоминанту, а инверсия относительно следующей, то есть I3 даёт Am, доминанту. И сразу видно, что в дорийском ладу субдоминанта мажорная. Ну и ещё для миксолидийского лада:
mixolydian
I0({4,6,1}) = {3,1,6} = {F,D,B} Bdim III
I1({4,6,1}) = {4,2,0} = {G,E,C} C IV S
I2({4,6,1}) = {5,3,1} = {A,F,D} Dm V D
I3({4,6,1}) = {6,4,2} = {B,G,E} Em VI
I4({4,6,1}) = {0,5,3} = {C,A,F} F VII
I5({4,6,1}) = {1,6,4} = {D,B,G} G I T
I6({4,6,1}) = {2,0,5} = {E,C,A} Am II
(номера ступеней указаны относительно G)
Ну, как уже несложно догадаться, инверсии всей диатоники переворачивают задом наперёд лады, то есть делают из восходящего ряда какой-то нисходящий:
исходный ионийский
L = {0,1,2,3,4,5,6} = {C,D,E,F,G,A,B}
нисходяший дорийский
I0(L) = {0,6,5,4,3,2,1} = {C,B,A,G,F,E,D}
нисходяший фригийский
I1(L) = {1,0,6,5,4,3,2} = {D,C,B,A,G,F,E}
нисходяший лидийский
I2(L) = {2,1,0,6,5,4,3} = {E,D,C,B,A,G,F}
нисходяший миксолидийский
I3(L) = {3,2,1,0,6,5,4} = {F,E,D,C,B,A,G}
нисходяший эолийский
I4(L) = {4,3,2,1,0,6,5} = {G,F,E,D,C,B,A}
нисходяший локрийский
I5(L) = {5,4,3,2,1,0,6} = {A,G,F,E,D,C,B}
нисходяший ионийский
I6(L) = {6,5,4,3,2,1,0} = {B,A,G,F,E,D,C}
D3
Всё это замечательно, но всё таки что там с секст- и с кварт-секст-аккордами (то есть с обращениями трезвучий)? А давайте временно забудем про семиугольник и будем работать только с тремя "нотами", то есть с (правильным) треугольником, то есть с группой D3. В формулах преобразований ничего вообще не поменяется, только вместо остатков по модулю 7 будут остатки по модулю 3:
Tk(X) = ( X + k) mod 3 // транспозиции, k = 0..2 Ik(X) = (-X + k) mod 3 // инверсии, k = 0..2
Ну и
X = {C,E,G} = {0,1,2} // не {0,2,4}
T0(X) = X
T1(X) = {1,2,0} = {E,G,C} = Y
T2(X) = {2,0,1} = {G,C,E} = Z
T1(Y) = {2,0,1} = {G,C,E} = Z
Если считать первый звук в полученных последовательностях самым нижним, оно и получается - {E,G,C} это секст-аккорд (тоника перенесена на октаву выше), а {G,C,E} это кварт-секст-аккорд (квинтовый тон перенесён на октаву ниже).
Инверсии на треугольнике
X = {0,1,2} = {C,E,G}
I0(X) = {0,2,1} = {C,G,E}
I1(X) = {1,0,2} = {E,C,G}
I2(X) = {2,1,0} = {G,E,C}
Как видно, это сам аккорд (I2(X)) и два его обращения, но только инвертированные, то есть сыгранные "задом наперёд", в нисходящем порядке.
Ссылки
- Why 12 tones to the octave? by Michael Rubinstein
- Music Through a Mathematical Lens by Shannon Smith
- Music: A Mathematical Offering by Dave Benson
- The Application of Group Theory to Music Theory by Chris Kuebler
- Music and Mathematics by Thomas M. Fiore
Дата последней модификации: 2025-03-01
/Разное/Музыка/Математика
Содержимое данного сайта может быть использовано кем угодно, когда угодно, как угодно и для каких угодно целей. Автор сайта не несёт абсолютно никакой ответственности за землетрясения, наводнения, финансовые кризисы, глобальные потепления/похолодания, разбитые тарелки, зуд/онемение в левой/правой пятке читателя, эпидемии/пандемии свинячьего/птичьего/тараканьего и иных гриппов, а также за прочие негативные, равно как и позитивные, последствия, вызванные прямым или косвенным использованием материалов данного сайта кем бы то ни было, включая самого автора. При копировании/цитировании материалов данного сайта любым технически возможным в настоящее время способом, а также способом, могущим стать возможным в будущем, указание (либо неуказание) ссылки на первоисточник лежит, блин, тяжким грузом на совести копирующего/цитирующего.
