Не буду вдаваться в исторический экскурс по поводу того, каким макаром теоретики от музыки выродили уродца под названием "равномерно-темперированный строй" (кому интересно, извольте сами нагугливать...), приведу лишь всем известную формУлку, по которой рассчитываются частоты ступеней музыКАЛьного звукоряда в этом строе (точнее, нестрое ,)). Отношение частот соседних "полутонов" в этом несовсемстрое равно корню двенадцатой степени из двойки, то есть для, тыкскыть, вычисления частоты k-го полутона в октаве надо взять частоту базового тона и помножить его k раз на этот коэффициентик:
f[k] = f[0]*2^(k/12)
Почему в октаве именно 12 полутонов, это немного отдельная сугубо математическая история, про которую тут неохота писать. Скажу лишь, что именно при таком разбиении октавы на равные интервалы квинты и кварты остаются относительно чистыми; а квинты и кварты - это святое, на них даже у самых отъявленных негодяев... эээ.. теоретиков рука не подымется. Терции еще можно подзаговнять втихаря, но квинту с квартой - нини, не трожь. Ну, только если лишь чуток, авось никто не заметит...
Итак, ближе к теме. В наш век поголовной компьютеризации и прочих изаций и фикаций эти самые компьютеры/телефоны/синтезаторы, как вы, наверное, слышали (небольшая шутка юмора), "умеют" издавать звуки. Как они это "делают", заразы? Понятное дело, у них есть, тыкскыть, звукоиздающий девайс типа динамической головки. Но, помимо этого, у них есть нечто, что выдает сигнал на этот звукоиздающий девайс. Если отвлечься от подробностей, то это нечто - это ЦАП, который по заданной ему цифирке формирует соответствующее напряжение, которое, в свою очередь, и заставляет звукоиздающий элемент мотыляться туда-сюда, что и порождает, тыкскыть, сопсна, звук, который мы, в свою очередь, слышим.
Этот вот ЦАП, то есть цифро-аналоговый преобразователь, производит это своё цифро-аналоговое преобразование, как вы понимаете, отнюдь не мгновенно, ему на это надо какое-то время. На всякое действие нужно какое-то время, правда ведь?
Допустим, эта наша гравиЦАПпа способна делать 48000 этих своих цифро-аналоговых преобразований в секунду. Откуда я взял цифирку 48000, спрашиваете Вы? Так вот откуда жеж:
cat /usr/share/alsa/alsa.conf | grep defaults.pcm.dmix.rate defaults.pcm.dmix.rate 48000
Понятно? :) Звучка на моём компе работает на такой частоте. А на какой у вас? :)
Теперь хиханьки в сторону, включаем москЪ примерно на 11% максимально возможной мощности. Если ЦАПа работает на частоте 48 kHz, то какую максимально возможную частоту звука она (ЦАПа жеж, поэтому "она"))) может выдать? Она может выдавать на звукоиздающий девайс напряжение 48000 раз в секунду... чтобы был звук, нужно, чтобы это напряжение менялось, так? Как часто ЦАПа может менять напряжение? То подаст, то не подаст, то подаст, то не подаст... один свой такт (цикл преобразования) выдает нулик, следующий такт - не нулик... То есть минимально возможный период колебания - это 2 такта ЦАПы. Соответственно, максимальная частота звука - это половинка тактовой частоты ЦАПы, то есть, в данном случае, 24 kHz.
Значит, минимально возможный период колебания - 2 такта ЦАПы. А какой следующий? Так 3 такта ЦАПы, правильно! Эти 3 такта соответствуют частоте звука 48000/3 = 16000 Hz.
И вот тут обратите внимание, что звук с частотой в промежутке между 24kHz и 16kHz наша ЦАПа сформировать не может! Ну никак! Хфизически никак. Ну то есть совсем. Вообще. Не может она менять напряжение на своем выходе чаще, чем 48000 раз в секунду. Такая вот у нас она. Меняет напряжение каждый такт - получается 24 kHz звук, меняет c периодом 3 такта - звук получается 16 kHz. А менять периодом 1.5 или 2.5 такта - увы... на всё нужно время...
Продолжаем с расчетом частот сигналов, которые наша ЦАПа может сформировать. Как вы, наверное, уже догадались (даже если снизили мощность своего CPU до 9% от максимально возможной), после цифры 3 идет цифра 4. Стало быть, еще одна частота сигнала, которым наша ненаглядная ЦАПа может усладить наш слух, есть 48000/4 = 12000 Hz.
Опять же обратите внимание, что между 16 kHz и 12 kHz - никак!
Понимаете, к чему я клоню? Не может компьютер/синтезатор (который, в сущности, тоже комп, только узкоспециализированный, так сказать) выдать какую угодно частоту.
Теперь поднапрягаем москЪ примерно до 17% от максимально возможной мощи и возвращаемся к топику, так сказать. Для разминки поупражняемся со стандартом 440 Hz. Какой нужно ЦАПе задать период, чтобы она нам выдала 440 Hz? 48000/440 = 109.091... Чуете, какой облом? Не может нам ЦАПа такую частоту выдать. Период ей нужен позарез целый, то есть 2,3,4,5,etc.., а тут какие-то, панимашь, 109.091... Я вот не пойму, какой из двух стандартов, тыкскыть, хреновый - то ли стандарт на рабочую частоту звуковых карт (48kHz), то ли стандарт на частоту нотки Ля (440 Hz)... вы не знаете? ,)
Ну вот. Теперь придется еще немного подзагрузить москЪ... где-то так уже процентов на 19, а то и на все 23... Если мы зададим ЦАПе период 108 иённых тактиков, то получим для Ля 444.444.... (и еще до Луны четверок этих) Hz. Вот жеж незадача-то... давай возьмем Соль, чтоли... чтобы частота выражалась целым числом. Пусть у нас для соль будет 480 тактиков ЦАПы. Тогда частота будет ну просто очень круглой - 48000/480 = 100 Hz. В более высоких октавах, соответственно, 200, 400, 800 Hz...
Так, тут нагрузка на ваше ALU подскакивает аж до 47%... Щас мы будем вычислять соль-диез, то есть полутончик вверх от этой нашей соль. Берем формулку из начала этого опуса и получаем
100*2^(1/12) = 105.946 Hz
То есть частота соль-диез в этом ихнем равномерно-темперированном недострое должна быть 105.946 Hz (если соль - 100 Hz)... Right?
Ну вот, уже почти почти, можно даже слегка расслабиться, ALU немного подразгрузить, процентов этак до 41 примерно. Берем и считаем период в тактах нашей ЦАПы, который ей надо задать, чтобы оная девайсина выдала нам вожделенный соль-диез точнёхонько в 105.946 Hz:
48000/105.946 = 453.061
Вай-вай-вай... апять ницелый, панимаш!!! Не может наш комп вместе с ЦАПой математически абсолютно точно соблюсти интервалы равномерно-темперированного звукоряда. Физически не может. Никак. Вообще никак. Ну то есть совсем не может.
А реальные музыкальные инструменты с реальными настройщиками и с реальными игрунами на них - тем более!
Стало быть, этот ихний равномерно-темперированный строй есть математическое пустобрёхство, не имеющее под собой никаких физических оснований. В реальности его не существует и не может существовать в принципе, из-за иррациональности интервальных коэффициентов.
Вот только не надо говорить, что я специально "неправильные" числа подобрал. Давайте в качестве периода для Ля возьмем 109 тактов. Тогда частота этой Ля будет 440.367 Hz. Для Ля-диез тогда получаем
440.367*2^(1/12) = 466.553 Hz
Период (в тактах ЦАП) тогда получается
48000/466.553 = 102.882
Опять облом. Опять нецелое. И всегда будет нецелое, поскольку корень 12-той степени из двойки. Так-то! :)
Дата последней модификации: 2012-01-21