Пару слов о парадоксах Зенона

(Навеяно вот этим, этим, этим, ... )

По моему очень скромному мнению, рассуждения Зенона противоречат (я имею ввиду апории "Ахиллес и черепаха" и "Дихотомия") повседневному опыту вовсе не потому, что логически ошибочны (в чем я согласен с автором текста по первой ссылочке), а потому, что у нас нет до сих пор правильного понимания того, что называется "вещество" и "движение". Отсылы к математическому анализу (дифференциальному исчислению, исчислению бесконечно малых) противоречий не снимают, а, наоборот, добавляют свою толику недоумения по поводу противоречивых понятий типа "скорость изменения величины в момент времени". Ясно, что за нулевой интервал времени ничего измениться не может, поэтому говорить о скорости по меньшей мере - странно. К тому же, процесс стремления временного промежутка к нулю представляет собой всего лишь мысленную операцию, в реальности такого не происходит - достаточно заметить, что размышляя над понятием производной, мы стремим приращение аргумента (времени) к нулю "задом наперед", то есть от бОльших значений к меньшим, в направлении от будущего момента к прошлому. Кстати, почему при введения понятия "производная" делают именно так? То есть рассматривается некоторое значение t₀ и приращение /\t (t₁ = t₀ + /\t); затем приращение мысленно надо безгранично уменьшать, причем t₀ остается на месте, а t₁ к нему приближается, то есть получается движение во времени вспять. Почему бы не взять t₁ слева от t₀ ? Впрочем, я отвлекся.

Почему рассуждения Зенона (повторяю, они логически - конфетка) находятся в вопиющем противоречии с опытом? Где та пята Ахиллеса, попав в которую стрелой, мы таки заставим его догнать черепаху, а заодно и стрелу догнать Ахиллеса? Видимо, в рассуждениях есть что-то такое, что предполагается неявно как самоочевидное, но на самом деле являющееся ошибочным. Что же это может быть? Дело тут, на мой взгляд, не в дискретности или непрерывности пространства и времени - скорее всего, такими предположениями являются предположения о том, что

• Движущееся тело (какая-то выделенная его точка, например, геометрический центр или центр масс) может занимать ЛЮБОЕ положение, то есть иметь любую координату (или иначе, расстояние между телами может быть сколь угодно малым - Ахиллес может приблизиться на сколь угодно малое расстояние к черепахе... собственно, апория весьма толсто именно на это и намекает). Иначе, тело может переместиться на сколь угодно малое расстояние.
• В процессе движения тело совершенно не изменяется, остается тождественным самому себе (имеется ввиду неизменность на всех уровнях материи, а не только на непосредственно нами ощущаемом, например, перемещение ног, пот под мышками и т.п.:)).

Вообще-то говоря, это совершенно не обязательно (и физически, и логически). Все зависит от ответа на вопрос, а что такое "материальное тело" и что значит "материальное тело движется". Как можно согласовать обозначенную мысль с идеями непрерывности (бесконечной делимости) пространства и времени, будет ясно из дальнейших рассуждений, в которых я буду исходить из следующих физических представлений (точнее, физичны только три последних, первые два - нет)

• пространство - непрерывно (но см. замечание ниже);
• время - непрерывно (аналогично);
• пространство (по крайней мере, его область, где мы живем), заполнено некоторой средой; в дальнейшем для обозначения этой среды я буду употреблять термин "эфир";
• эта среда - дискретна, то есть состоит из элементов;
• вещество (электроны и нуклоны) представляют собой процессы в этой среде (самозамкнутые локализованные колебания); свет (фотоны) - несамозамкнутые локализованные колебания.

Замечание по поводу "пространства" и "времени". Это - сверхабстракции, обобщение понятий "дальше", "ближе", "низ", "верх", етц. и "долго", "быстро", етц, соответственно. Нет таких объектов в природе, "пространство" и "время", они суть способ описания мира. Поэтому делить пространственный или временной отрезок на сколь угодное число частей - это завсегда пожалуйста, это всего лишь мыслительная операция. Другое дело "материальное тело". Никто, наверное, сейчас не будет отрицать атомистическую (дискретную) природу вещества. Пусть имеем "палочку" из 111 атомов, скажем, железа. Так мы ее даже не можем разделить на 2 РАВНЫЕ ЧАСТИ!!! Ибо пол-атома железа (типа пол-яблока) не бывает. Если мы таки умудримся расчленить атом железа на две равные части, то в результате мы получим не 2 маленькие ЖЕЛЕЗНЫЕ палочки, а что-то иное, ибо один атом в каждой половинке уже не будет атомом железа. И не факт, что этот атом пристроится аккурат на продолжении линейки атомов железа. И не факт, что вообще пристроится. Не говоря уже о делении на, скажем, 1000 частей. А с воображаемыми сущностями типа "отрезок пространства" это делается легко и просто, потому как "делается" исключительно в голове и нигде больше. Попробуйте разрезать "кусочек пространства" и продемонстрировать его фрагментики; с удовольствием посмотрел бы на то, как это у вас получится. ,) Иными словами, всякие разглагольствования о дискретности/непрерывности пространства и времени или, боже упаси, пространства-времени есть мракобесие или, в более мягкой формулировке, рассуждения о том, чего не существует.

Для упрощения дальнейшего изложения будем эфирную решетку полагать одномерной, тогда "веществом" или "светом" будет, например, вот такая ситуация (некоторое возмущение решетки):

		        o
   
		o o o o   o o o o
		1 2 3 4 5 6 7 8

Тогда нахождение такого (именно ТАКОГО!!!) "тела" в другом месте пространства изобразится вот так:

		          o       
   
		o o o o o   o o
		1 2 3 4 5 6 7 8

"Такое" тело находиться где-то между точками 5 и 6 НЕ МОЖЕТ. Потому как тело есть некое состояние эфирной решетки, а ее элементы находятся там, где находятся. Акт же перемещения (какая-то его фаза) будет выглядеть вот так (например):

		        o o  
		o o o o     o o
		1 2 3 4 5 6 7 8

Или даже так (!!!):

		o o o o o o o o
		1 2 3 4 5 6 7 8

То есть в какой-то миг вообще НИЧЕГО НЕТ!!! А почему бы и нет? Инерция зрения не позволяет нам увидеть, что изображение на экране телевизора вовсе не непрерывное по времени, а дискретное, последовательность кадров (да еще каждый кадр рисуется построчно, а строчка попиксельно). А тут-то речь про временные масштабы совсем-совсем другие, гораздо более мелкие, чем 30 кадров в секунду.

В этом месте не могу не процитировать автора текста по первой ссылочке (которая сверху, под заголовком):

"Апория 'Стрела' показывает нам, что в дискретной модели мира объект даже не прыгает из точки в соседнюю точку, а исчезает из одной точки и появляется в другой (в противном случае мы приходим к непрерывности). По сути, это два разных объекта, ибо между ними нет связи, непрерывности, идентичности, а это в корне противоречит интуитивному пониманию движения, ибо никто не называет движением исчезновение одного объекта в одном месте и появление другого объекта в другой точке. Движение мыслится и понимается нами как движение одного и того же тела, ибо движение это атрибут движущегося тела и может быть только изменением отношений между телом и средой, окружающей его. Мы можем говорить о движении в той мере, насколько тело сохраняет свою идентичность, противополагаясь в различных соотношениях своему окружению. "

Именно так, "два разных объекта". Разных в том смысле, что совершив акт перемещения, тело состоит уже ИЗ ДРУГИХ элементов эфира; иначе, в состав тела входят другие элементы. Но при этом тело все-таки остается самим собой, поскольку конфигурация возмущения воспроизводится, но уже в другом месте пространства и возмущенной оказывается другая группа элементов эфира, а не та, что была раньше.

Итак, нахождение тела, идентичного (на наноуровне) самому себе, возможно не в любом месте, а лишь только в некоторых местах (грубо говоря, в узлах решетки). В процессе же перемещения ("скачка") именно такого тела - нет! Оно - другое, на наноуровне (либо его вообще "нет"). Или иначе, тело НЕ может переместиться на сколь угодно малое расстояние!!! Напомню, что в апорию про Ахиллеса неявно заложено утверждение, обратное именно этому и именно оно, по всей видимости, и является ошибочным. Для тех, кто не въехал в сие словоплетение, выражусь иначе... утверждение "тело может переместиться на сколь угодно малое расстояние" - ошибочно с физической точки зрения (ТАК ПАНЯТНА?). Зенон в своих рассуждениях "заставляет" проходить Ахилла все меньшее и меньшее расстояние, что в действительности невозможно (хошь верь, а хошь - проверь ,)). Только еще раз хочется обратить внимание, что сколь угодно малое перемещение тела невозможно не потому, что пространство, дескать, дискретно (это просто откровенное словоблудие), а потому, что дискретна некая суб-материя (эфир), а то, что мы называем "материальным телом", есть процесс в эфирной решетке. Минимально возможное перемещение задается расстоянием между ее элементами.

Поэтому расстояние между Ахиллесом и черепахой (понимаемых как нечто неизменное в процессе перемещения) не может быть любым, в частности, оно не может быть сколь угодно малым. Обязательно наступит такой момент, когда их будет разделять минимально возможное расстояние, а после этого - он ее обгонит, что и наблюдается на опыте, так сказать. В самом процессе обгона Ахиллес - как бы не совсем Ахиллес. Перемещение тела невозможно без его внутреннего изменения (на макроуровне для "самодвижущихся" объектов это очезримо)

Попробую немного потягаться с теми, кто считает, что решением апорий ("Дихотомия" и "Ахилл") является тот математический факт, что соотвествующая бесконечная сумма сходится, то есть имеет предел. Никто с этим не спорит. Равно как и с тем, что Ахиллес таки догонит черепаху и перегонит. Вопрос не в том, есть предел или нет предела (да, он есть), а в том, как возможно его достичь, причем не умозрительно, а в ходе реального физического процесса. Точнее, не так. Почему, рассуждая (строго логически) о каком-то физическом процессе, мы приходим к выводу, который никак не согласуется с опытом? Рассуждая о достижении некоей конечной точки, мы никак не можем представить, каким образом это достижение возможно. Сколько шагов не сделай, все равно их останется бесконечно много. И каким таким образом это неуменьшающееся количество шагов можно совершить, никоим образом мы представить себе не можем. У процесса нет окончания, завершения, для завершения нужно проделать, ни много ни мало, бесконечное количество шагов.

В конце концов, пределы рядов в математике никто не считает "в лоб", прямым суммированием, их находят какими-то "обходными" путями. Возьмем такую апорию (слабая вариация на тему "Дихотомии")... Но сначала отступление по поводу нахождения пределов рядов.

Как доказать, что ряд

1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

сходится к единице? Да очень просто. Берем эту самую единицу, делим на две части, одну половинку бережно держим в уме, другую делим опять же пополам, одну из получившихся четвертинок не менее бережно держим в уме, оставшуюся четвертинку, you guessed, делим снова пополам, получается 2 осьминки, первую опять откладываем в закрома оперативной памяти, вторую делим пополам... и тут нас осеняет "гениальная" мысль - балин, так жеж можно долго херней маятся, никакой жизни не хватит. На этом шаге нас посещает следующая, не менее "гениальная" мысля - фикЪ с ним, что мы не можем "досчитать слоников" до   (1/2)^100500   ... зато мы можем себе прямо воочию, ага-ага, представить, как этот бесконечный процесс воспроизводится в обратном порядке... мы какбы думаем - ага, так ведь если все эти слагаемые снова обратно сложить, то получится снова единица!!! Тут мы вообще офигеваем от собственной "гениальности", сразу же зачисляем себя в великие математики, попутно забывая, что ни процесс разложения единицы, ни процесс её "восстановления" из бесконечного числа слагаемых нам так и не удалось физически осуществить до конца ,)... суммы других рядов "вычисляются" похожим образом, и сие ментальное действие есть "слабая вариация" на тему "я тожа гениальный математик"...

... А вот теперь - "слабая вариация на тему апории про дихотомию"

Бегун никогда не достигнет финиша, потому что сначала ему надо пробежать пол-пути, потом от оставшейся половины еще половину, то есть четверть, от оставшейся четверти еше половину, то есть восьмушку и т.д. до бесконечности. Представляется невозможным сделать бесконечное число шагов за конечное время.

Эту апорию можно переформулировать по-другому. Пусть вместо бегуна у нас древнегреческий математик или компьютер, который пытается вычислить ряд

		0 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

"в лоб", непосредственным суммированием. При этом, дабы избежать обвинений в попытке "остановить время", мы будем полагать, что наш вычислитель не лыком шит, а именно, каждое последующее суммирование он делает быстрее предыдущего. Для конкретности, пусть первое суммирование (0 + 1/2) он делает за 1/2 секунду, второе (1/2 + 1/4) за 1/4 секунды, третье (3/4 + 1/8) за 1/8 секунды и т.д. Получим апорию:

Вычислитель никогда достигет предела, потому что сначала ему надо прибавить 1/2 (за 1/2 секунды), потом 1/4 (за 1/4 секунды) и т.д. до бесконечности. Представляется невозможным выполнить бесконечное число суммирований за конечное время.

Проще говоря, невозможно построить вычислитель, который смог бы за конечное время выполнить бесконечное число суммирований. И вряд ли кто-то с этим не согласится!!! Ведь пределы все-таки считают не в лоб, а в "обход". Несогласных попросим предъявить девайс... ,). Ну, пусть такой вычислитель гипотетически имеется. Тогда, рассуждая о его работе, мы опять же не сможем представить себе, каким образом он доделает работу до конца. По тривиальной причине отсутствия этого самого конца. Ну нет его! Бесконечность, однако. Как можно сделать последний шаг, если нет его, этого последнего шага? На самом деле положение вычислителя еще более безнадежное. Ему надо сделать бесконечное число суммирований не за конечное время, а за бесконечно малое время!!! Ведь от того, что он прибавил к сумме очередное число, количество работы-то НЕ УМЕНЬШАЕТСЯ - ему по-прежнему нужно добавить БЕСКОНЕЧНОЕ число слагаемых. Время, отведенное на работу, катастрофически уменьшается, а работы сколько было, столько и осталось. И неважно, что каждое очередное суммирование он делает в два раза быстрее. Предел есть. Он вычисляется обходным путем. И в случае бегуна он тоже есть. Достижение финиша непосредственно воспринимается. Но нельзя его достигнуть, если приближаться к финишу все время уменьшающимися шагами. Вот в этом и есть фокус Зенона. Довольно банально, конечно, но из этого следуют сурьезные выводы о строении материи.

Само собой, здесь есть чему возразить. Самое главное - а как движется этот элемент эфира (движение которого (совокупности которых) есть "материальное тело")? Ведь по отношению к этим элементам можно опять применить все те же рассуждения Зенона. Можно сказать следующее. Во-первых, непосредственно движение этих элементов в силу их малости нам не дано непосредственно наблюдать (по крайней мере, пока), так что тут возможны только спекуляции. Во-вторых, можно применить такую же точно схему рассуждений. Но тогда придется согласиться с тем, что материя на каждом уровне есть процессы в среде более глубокого("тонкого") уровня. Тогда нужно выбирать - либо мы признаем бесконечную делимость материи вглубь и свое умственное бессилие познать все это СРАЗУ либо мы соглашаемся с Зеноном и говорим вещи, которые ежедневно опровергаются эмпирикой. Какую из этих двух "глупостей" выбираете Вы? "Глупость", состоящую в том, что Вы с умным всепонимающим видом "опровергаете" Зенона матанализом (хехехе)? Или открыто признаетесь себе, что Вы действительно не все в этой жизни понимаете и не можете постигнуть природу во всей ее глубине? Лично я выбираю второе. :) Ну тупой я ибо.

P.S.

Вообще-то, картиночки, наверное, следует рисовать вот так:

 ---------- - это "вакуум", "ничего нет"
 ---*------ - это электрон
 ----*----- - это электрон, переместившийся на один шаг

Тут такое дело - если мы будем мыслить, к примеру, электрон как процесс в субматерии, то неминуемо натыкаемся на те же зеноновские грабли, пытаясь представить себе этот процесс как... перемещения элемента/ов субматерии. Попробуем немножко по другому: пусть "электрон" - это некое (скажем так, "активное") состояние одного элемента субматерии; если элемент находится в "пассивном", "выключенном" состоянии, то он в "небытии", ничего в этом месте пространства для нас нет. Движение электрона - это как бы перескок, передача активного состояния от одного элемента к другому.

И вот теперь вопрос, об который можно повредиться головой - способны ли мы представить, помыслить, вообразить ИЗМЕНЕНИЕ без ДВИЖЕНИЯ, то есть ИЗМЕНЕНИЕ без ПЕРЕМЕЩЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ?... У меня никак не получается. Если бы это удалось, то тогда вопрос с апориями Зенона был бы окончательно закрыт. А пока только очевидно, что материальные тела не могут перемещаться на сколь угодно малые расстояния, есть минимальная величина перемещения - в противном случае получаются выводы, вопиюще противоречащие элементарному бытовому опыту.

Ну так и вот, пусть "электрон" - это активное, "включенное" состояние элемента субматерии, то есть с ним что-то происходит. Минимальное, что может происходит - это смена двух состояний. Как представить себе смену хотя бы 2-х состояний без механического перемещения и/или изменения формы и/или размеров чего бы то ни было? КАК?

P.S #2

Хорошая мысля приходит опосля... ещё некоторые рассуждения по поводу логичности апорий Зенона, возникшие в результате попыток втолковать энному количеству людей, в чём же тут фокус-покус.

Итак, следите за руками. "Бегун никогда не достигнет финиша, потому что для того, чтобы пройти весь путь, нужно сначала пройти половину..."... я повторяю - "для того, чтобы пройти весь путь, нужно сначала пройти половину"... вы согласны, да? это утверждение кажется абсолютно бесспорным, не так ли? Но это только кажется.

Вот смотрите - давайте сейчас сформулируем вот такой вот вариантец апории - "Ахиллес никогда не сосчитает количество черепах, потому что для того, чтобы сосчитать их всех, нужно сначала сосчитать половину..." и тут читатель, знающий про то, что числа бывают чётные и нечётные (а разве бывают иные? - я имею ввиду читателей), сразу же спросит - "а если количество черепах равно 7? Как можно сосчитать половину этого количества?" Вот именно - черепах по осени... тьфу ))) Черепах считают целыми штуками и никак иначе, ибо черепаха, разделённая пополам - это совсем не две черепахи вдвое меньшего размера. И поэтому посчитать половину от 7-ми черепах невозможно, ну, реально невозможно - их всегда считают штуками, целыми штуками, так, как это делает 3-х летний ребёнок - "раз, два, три, четыре". Вы же не считаете черепах таким образом - "1/256-ая черепахи, вот ещё 1/256-ая черепахи, итого 1/128-ая черепахи, а вот ещё 1/128-ая черепахи, итого 1/64-ая черепахи"... смешно, да?

К чему это я? А к тому, что мы не можем мыслить материю в любом её проявлении непрерывной - только дискретной и никак иначе. Пол-черепахи - это не 2 черепахи поменьше... пол-человека (извиняюсь) - это не два человека поменьше... половина кубика Рубика - это не два маленьких кубика Рубика, половина кастрюли - это не две маленьких кастрюли, как ни распиливай.

Тебя же нифига не удивляет то, что движение точки на твоём крутом широком LCD-мониторе происходит скачками? А почему тогда так трудно осознать, что движение ("перемещение в пространстве") того, что мы называем "материальное тело", происходит примерно таким же образом? А? ,)... Светящийся, блин, пиксел, на этом твоём мониторе не может переместиться на три с половиной пиксела, так? Ну так и перемещение в пространстве есть своего рода подсчёт количеств скачков, которое "тело" совершило. Как там древние греки-то говаривали, бывало? "Что наверху, то и внизу" - то есть устройство материи одинаково на всех уровнях её организации.

...и даже такая "материя", как деньги - дискретна по самые помидоры - если купюру номиналом в 1000 уёв разрезать ножницами пополам, то эти половины, хоть ты тресни, не обладают покупательной способностью каждая по 500 уёв. Ага? ) А если вынуть из "два кольца два конца посередине гвоздик" этот самый гвоздик, то двое ножниц поменьше ну никак не получится.

Целостность (внешняя дискретность), однакося... Без этого не было бы ничего. Ты же отличаешь один предмет от другого? Ну дык... И свои шаги ты считаешь только так - "раз, два, три, четыре". Ты же не считаешь свои шаги (просто когда идешь куда-то там) вот таким образом - "я сделал 1/1024-ую шага и ещё 1/1024-ую шага, итого я сделал 1/512-ую шага, щас я сделаю ещё 1/512-ую шага и будет аж целых 1/256-ая шага..." Теперь уже не так смешно, да? ,) Но не надо печалиться, в следующем абзаце в первом же предложении объяснено, почему такой прикол с мышлением происходит.

Теперь глядите, как троллит Зенон - он "ловко" подменяет предмет осмысления - вместо того, чтобы рассуждать о Черепахе и Ахиллесе и об их внутреннем устройстве, он пи...ой...эээ... балагурит про что? Ага, про пространство. А оно, это самое пространство - это всего лишь наш способ познавать мир и не более того. Деление отрезка пополам - это не более, чем мыслительная операция, "результат" которой - два отрезка вдвое меньшей длины... а вот реальное действие в виде, например, разламывания гитары пополам имеет своим результатом вовсе не две гитарки размером поменьше.

Иными словами, в рассуждении Зенона Ахиллес и черепаха формально присутствуют, но фактически Зенон "занимается" мысленным делением отрезка пространства пополам, то есть движущийся объект как таковой из рассмотрения выпадает начисто. Вот вам и весь парадокс. Не о том думал.

Круче Зенона в троллинге населения планеты Земля оказался только некто Альберт Энштейн - у того пространство ваще - ... аж искривлялось. Ну, фигли, он "гений всех времён и народов", ему можно было)))

Но мы-то с вами не гении, нам такого со своим сознанием вытворять не дано - мы мыслим просто, ясно и понятно, мы мыслим о материи (а не о всяких там закидонах в мозгу навроде "пространственно-временной континуум"), причём материю енту самую мы представляем дискретной - на всех уровнях еённой организации, сколько бы их там ни было.

И, если мы так мыслим, то есть понимаем на каждом шагу, что материя состоит из ШТУК, которые можно СЧИТАТЬ только а-ля "раз-два-три-четыре", то почему бы нам не помыслить о том, что, к примеру, "электрон" - это состояние, а лучше - смена состояний чего-то такого махонького, такой махонькой _штучки_ и что движение оного, равно как и всего остального есть какбы переброс этого живого состояния на соседнюю _штучку_? И что есть минимально возможное расстояние, на которое можно переместиться (примерно равное размеру этой _штучки_)? Оно очень маленькое - настолько маленькое, что движение представляется нам непрерывным. Но это всего лишь кажется, это, не побоюсь этого слова, всего лишь иллюзия.

Ну вот как-то так )

Можно ещё почитать вот это )

Дата последней модификации: 2015-04-18